人邮高数 第2章 第2-2-15题

[AI解答]

[AI解答]

解：
已知椭圆方程为
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
$$
要求椭圆上一点 $M(x_0, y_0)$ 处的切线方程，我们采用隐函数求导法。

对椭圆方程两边关于 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数：

$$
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{y^{2}}{b^{2}}\right) = 0.
$$

计算得
$$
\frac{2x}{a^{2}} + \frac{2y}{b^{2}} \cdot y' = 0.
$$

整理得
$$
\frac{2y}{b^{2}} y' = -\frac{2x}{a^{2}},
$$
所以
$$
y' = -\frac{b^{2}x}{a^{2}y}.
$$

在点 $M(x_0, y_0)$ 处，切线的斜率为
$$
k = y'(x_0, y_0) = -\frac{b^{2}x_0}{a^{2}y_0}.
$$

利用点斜式方程，切线方程为
$$
y - y_0 = -\frac{b^{2}x_0}{a^{2}y_0}(x - x_0).
$$

两边乘以 $a^{2}y_0$ 得
$$
a^{2}y_0(y - y_0) = -b^{2}x_0(x - x_0),
$$
即
$$
a^{2}y_0 y - a^{2}y_0^{2} = -b^{2}x_0 x + b^{2}x_0^{2}.
$$

移项整理：
$$
b^{2}x_0 x + a^{2}y_0 y = b^{2}x_0^{2} + a^{2}y_0^{2}.
$$

由于点 $M(x_0, y_0)$ 在椭圆上，满足
$$
\frac{x_0^{2}}{a^{2}} + \frac{y_0^{2}}{b^{2}} = 1,
$$
两边乘以 $a^{2}b^{2}$ 得
$$
b^{2}x_0^{2} + a^{2}y_0^{2} = a^{2}b^{2}.
$$

代入上式，切线方程简化为
$$
\boxed{\frac{x_0 x}{a^{2}} + \frac{y_0 y}{b^{2}} = 1}.
$$

这就是椭圆在点 $M(x_0, y_0)$ 处的切线方程。