习题10-3

1．化三重积分 $I=\displaystyle{\iiint}_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 为三次积分，其中积分区域 $\Omega$ 分别是 （1）由双曲抛物面 $x y=z$ 及平面 $x+y-1=0, z=0$ 所围成的闭区域； （2）由曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 及平面 $z=1$ 所围成的闭区域； （3）由曲面 $z=x^{2}+2 y^{2}$ 及 $z=2-x^{2}$ 所围成的闭区域； （4）由曲面 $c z=x y(c\gt 0), \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, z=0$ 所围成的在第 I 卦限内的闭区域．

11．选用适当的坐标计算下列三重积分： （1） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} x y \mathrm{~d} V$ ，其中 $\Omega$ 为柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 及平面 $z=1, z=0, x=0, y=0$ 所围成的在第 I 卦限内的闭区域； ＊（2） $\displaystyle{\iiint} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\Omega$ 是由球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=z$ 所围成的闭区域； （3） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} V$ ，其中 $\Omega$ 是由曲面 $4 z^{2}=25\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 及平面 $z=5$ 所围成的闭区域； ＊（4） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} V$ ，其中闭区域 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid 0\lt a \leqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \leqslant A, z \geqslant 0\right\}$ ； （5） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega}\left(y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V$ ，其中 $\Omega$ 是由抛物面 $x=y^{2}+z^{2}$ 与圆锥面 $x=2-\sqrt{y^{2}+z^{2}}$ 所围成的闭区域．

12．利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积： （1）$z=6-x^{2}-y^{2}$ 及 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ； ＊（2）$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a z(a\gt 0)$ 及 $x^{2}+y^{2}=z^{2}$（含有 $z$ 轴的部分）； （3）$z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 及 $z=x^{2}+y^{2}$ ； （4）$z=\sqrt{5-x^{2}-y^{2}}$ 及 $x^{2}+y^{2}=4 z$ ．

14．求上、下分别为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$ 和抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 所围立体的体积．

2．设有一物体占有空间闭区域 $\Omega=\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 1\}$ ，在点 $(x, y, z)$ 处的密度为 $\rho(x, y, z)=x+y+z$ ，计算该物体的质量．

3．如果三重积分 $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 的被积函数 $f(x, y, z)$ 是三个函数 $f_{1}(x), f_{2}(y), f_{3}(z)$ 的乘积，即 $f(x, y, z)=f_{1}(x) f_{2}(y) f_{3}(z)$ ，积分区域 $\Omega=\{(x, y, z) \mid a \leqslant x \leqslant b, c \leqslant y \leqslant d, l \leqslant z \leqslant m\}$ ，证明这个三重积分等于三个定积分的乘积，即 $$ \displaystyle{\iiint_{\Omega} f_{1}(x) f_{2}(y) f_{3}(z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\displaystyle{\int}_{a}^{b} f_{1}(x) \mathrm{d} x \displaystyle{\int}_{c}^{d} f_{2}(y) \mathrm{d} y \displaystyle{\int}_{l}^{m} f_{3}(z) \mathrm{d} z . $$

4．计算 $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} x y^{2} z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega$ 是由曲面 $z=x y$ 与平面 $y=x, x=1$ 和 $z=0$ 所围成的闭区域．

5．计算 $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} \frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z}{(1+x+y+z)^{3}}$ ，其中 $\Omega$ 为平面 $x=0, y=0, z=0, x+y+z=1$ 所围成的四面体．

6．计算 $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 及三个坐标面所围成的在第 I 卦限内的闭区域。

7．计算 $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega$ 是由平面 $z=0, z=y, y=1$ 以及抛物柱面 $y=x^{2}$ 所围成的闭区域．

8．计算 $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega$ 是由锥面 $z=\frac{h}{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与平面 $z=h(R\gt 0, h\gt 0)$ 所围成的闭区域．

9．利用柱面坐标计算下列三重积分： （1） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} z \mathrm{~d} V$ ，其中 $\Omega$ 是由曲面 $z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 及 $z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的闭区域； （2） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} V$ ，其中 $\Omega$ 是由曲面 $x^{2}+y^{2}=2 z$ 及平面 $z=2$ 所围成的闭区域．

＊10．利用球面坐标计算下列三重积分： （1） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V$ ，其中 $\Omega$ 是由球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 所围成的闭区域； （2） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} z \mathrm{~d} V$ ，其中闭区域 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2} \leqslant a^{2}, x^{2}+y^{2} \leqslant z^{2}\right\}$ ．

＊13．求球体 $r \leqslant a$ 位于雉面 $\varphi=\frac{\pi}{3}$ 和 $\varphi=\frac{2}{3} \pi$ 之间的部分的体积．

＊15．球心在原点、半径为 $R$ 的球，在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比，求这球的质量．