习题11-6

1．利用高斯公式计算曲面积分： （1）$\oiint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 为平面 $x=0, y=0, z=0, x=a, y=a, z=a$ 所围成的立体的表面的外侧； ＊（2）$\oiint_{\Sigma} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 的外侧； ＊（3）$\oiint_{\Sigma} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2} y-z^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(2 x y+y^{2} z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 为上半球体 $0 \leqslant z \leqslant \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}, x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$的表面的外侧； （4）$\oiint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 是界于 $z=0$ 和 $z=3$ 之间的圆柱体 $x^{2}+y^{2} \leqslant 9$ 的整个表面的 外侧； （5）$\oiint_{\Sigma} 4 x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 是平面 $x=0, y=0, z=0, x=1, y=1, z=1$ 所围成的立方体的全表面的外侧．

4．设 $u(x, y, z), v(x, y, z)$ 是两个定义在闭区域 $\Omega$ 上的具有二阶连续偏导数的函数，$\frac{\partial u}{\partial n}, \frac{\partial v}{\partial n}$ 依次表示 $u(x, y, z), v(x, y, z)$ 沿 $\Sigma$ 的外法线方向的方向导数．证明： $$ \displaystyle{\iiint}_{\Omega}(u \Delta v-v \Delta u) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oiint_{\Sigma}\left(u \frac{\partial v}{\partial n}-v \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} S, $$ 其中 $\Sigma$ 是空间闭区域 $\Omega$ 的整个边界曲面．这个公式叫做格林第二公式．

＊2．求下列向量 $\boldsymbol{A}$ 穿过曲面 $\Sigma$ 流向指定侧的通量： （1） $\boldsymbol{A}=y z i+x z j+x y k, \Sigma$ 为圆柱 $x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}(0 \leqslant z \leqslant h)$ 的全表面，流向外侧； （2） $\boldsymbol{A}=(2 x-z) i+x^{2} y j-x z^{2} k, \Sigma$ 为立方体 $0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant a, 0 \leqslant z \leqslant a$ 的全表面，流向外侧； （3） $\boldsymbol{A}=(2 x+3 z) \boldsymbol{i}-(x z+y) \boldsymbol{j}+\left(y^{2}+2 z\right) \boldsymbol{k}, \boldsymbol{\Sigma}$ 是以点 $(3,-1,2)$ 为球心，半径 $R=3$ 的球面，流向外侧．

＊3．求下列向量场 $\boldsymbol{A}$ 的散度： （1） $\boldsymbol{A}=\left(x^{2}+y z\right) \boldsymbol{i}+\left(y^{2}+x z\right) \boldsymbol{j}+\left(z^{2}+x y\right) \boldsymbol{k}$ ； （2）$A=\mathrm{e}^{x y} i+\cos (x y) j+\cos \left(x z^{2}\right) k$ ； （3）$A=y^{2} i+x y j+x z k$ ．

＊5．利用高斯公式推证阿基米德原理：浸没在液体中的物体所受液体的压力的合力（即浮力）的方向铅直向上，其大小等于该物体所排开的液体所受的重力．