习题12-1

1．写出下列级数的前五项： （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1+n}{1+n^{2}}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1 \times 3 \times \cdots \times(2 n-1)}{2 \times 4 \times \cdots \times(2 n)}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{5^{n}}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}}$ ．

2．根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性： （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$ ； （2）$\frac{1}{1 \times 3}+\frac{1}{3 \times 5}+\frac{1}{5 \times 7}+\cdots+\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}+\cdots$ ； （3） $\sin \frac{\pi}{6}+\sin \frac{2 \pi}{6}+\cdots+\sin \frac{n \pi}{6}+\cdots$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ ．

3．设级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 满足条件：（1） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{k=1}^{\infty}\left(u_{2 k-1}+u_{2 k}\right)$ 收敛．证明：级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛．

4．判定下列级数的收敛性： （1）$-\frac{8}{9}+\frac{8^{2}}{9^{2}}-\frac{8^{3}}{9^{3}}+\cdots+(-1)^{n} \frac{8^{n}}{9^{n}}+\cdots$ ； （2）$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{3 n}+\cdots$ ； （3）$\frac{1}{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt[n]{3}}+\cdots$ ； （4）$\frac{3}{2}+\frac{3^{2}}{2^{2}}+\frac{3^{3}}{2^{3}}+\cdots+\frac{3^{n}}{2^{n}}+\cdots$ ； （5）$\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}\right)+\left(\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{3^{3}}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}\right)+\cdots$ ．

＊5．利用柯西审敛原理判定下列级数的收敛性： （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ ； （2） $1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{3 n-2}+\frac{1}{3 n-1}-\frac{1}{3 n}+\cdots$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{2^{n}}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3 n+1}+\frac{1}{3 n+2}-\frac{1}{3 n+3}\right)$ ．