习题12-7

1．下列周期函数 $f(x)$ 的周期为 $2 \pi$ ，试将 $f(x)$ 展开成傅里叶级数，如果 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi)$ 上的表达式为 （1）$f(x)=3 x^{2}+1 \quad(-\pi \leqslant x\lt \pi)$ ； （2）$f(x)=\mathrm{e}^{2 x}(-\pi \leqslant x\lt \pi)$ ； （3）$f(x)=\left\{\begin{array}{l}b x,-\pi \leqslant x\lt 0, \\ a x, 0 \leqslant x\lt \pi(a, b \text { 为常数，且 } a\gt b\gt 0) .\end{array}\right.$

2．将下列函数 $f(x)$ 展开成傅里叶级数： （1）$f(x)=2 \sin \frac{x}{3}(-\pi \leqslant x \leqslant \pi)$ ； （2）$f(x)= \begin{cases}\mathrm{e}^{x}, & -\pi \leqslant x\lt 0, \\ 1, & 0 \leqslant x \leqslant \pi ;\end{cases}$ （3）$f(x)=x \sin x(-\pi \leqslant x \leqslant \pi)$ ．

3．将函数 $f(x)=\cos \frac{x}{2}(-\pi \leqslant x \leqslant \pi)$ 展开成傅里叶级数．

4．设 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数，它在 $[-\pi, \pi)$ 上的表达式为 $$ f(x)= \begin{cases}-\frac{\pi}{2}, & -\pi \leqslant x\lt -\frac{\pi}{2} \\ x, & -\frac{\pi}{2} \leqslant x\lt \frac{\pi}{2} \\ \frac{\pi}{2}, & \frac{\pi}{2} \leqslant x\lt \pi\end{cases} $$ 将 $f(x)$ 展开成傅里叶级数．

5．将函数 $f(x)=\frac{\pi-x}{2}(0 \leqslant x \leqslant \pi)$ 展开成正弦级数．

6．将函数 $f(x)=2 x^{2}(0 \leqslant x \leqslant \pi)$ 分别展开成正弦级数和余弦级数．

7．设周期函数 $f(x)$ 的周期为 $2 \pi$ ．证明： （1）若 $f(x-\pi)=-f(x)$ ，则 $f(x)$ 的傅里叶系数 $a_{0}=0, a_{2 k}=0, b_{2 k}=0(k=1,2, \cdots)$ ； （2）若 $f(x-\pi)=f(x)$ ，则 $f(x)$ 的傅里叶系数 $a_{2 k+1}=0, b_{2 k+1}=0 \quad(k=0,1,2, \cdots)$ ．