习题8-2
8-2-1
📝 有解析
第8-2-1题
1．设 $a=3 i-j-2 k, b=i+2 j-k$ ，求
（1） $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 及 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ ；
（2）$(-2 a) \cdot 3 b$ 及 $a \times 2 b$ ；
（3） $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 的夹角的余弦．
8-2-10
📝 有解析
第8-2-10题
10．设一平行四边形对角线为 $c=a+2 b, d=3 a-4 b$ ，其中 $a, b$为单位向量且 $a \perp b$ ，求该平行四边形的面积．
8-2-11
📝 有解析
第8-2-11题
11．设有四面体 $O P Q R$（图8－28），其中 $\triangle O P Q, \triangle O Q R$ ， $\triangle O P R$ 和 $\triangle P Q R$ 的面积分别为 $A, B, C$ 和 $D$ ．试用向量方法证明如下三维空间中的勾股定理：
$$
A^{2}+B^{2}+C^{2}=D^{2} .
$$
8-2-13
📝 有解析
第8-2-13题
13．试用向量证明不等式：
$$
\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}} \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}} \geqslant\left|a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}\right|
$$
其中 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3}$ 为任意实数，并指出等号成立的条件．
8-2-2
📝 有解析
第8-2-2题
2．设 $a, b, c$ 为单位向量，且满足 $a+b+c=0$ ，求 $a \cdot b+b \cdot c+c \cdot a$ ．
8-2-3
📝 有解析
第8-2-3题
3．已知 $M_{1}(1,-1,2), M_{2}(3,3,1)$ 和 $M_{3}(3,1,3)$ ．求与 $\overrightarrow{M_{1} M_{2}}, \overrightarrow{M_{2} M_{3}}$ 同时垂直的单位向量．
8-2-4
📝 有解析
第8-2-4题
4．设质量为 100 kg 的物体从点 $M_{1}(3,1,8)$ 沿直线移动到点 $M_{2}(1,4,2)$ ，计算重力所做的功（坐标系长度单位为 m ，重力方向为 $z$ 轴负方向）．
8-2-5
📝 有解析
第8-2-5题
5．在杜杆上支点 $O$ 的一侧与点 $O$ 的距离为 $x_{1}$ 的点 $P_{1}$ 处，作用着一个与 $\overrightarrow{O P_{1}}$ 成角 $\theta_{1}$ 的力 $F_{1}$ ；在 $O$ 的另一侧与点 $O$ 的距离为 $x_{2}$ 的点 $P_{2}$ 处，作用着一个与 $\overrightarrow{O P_{2}}$成角 $\theta_{2}$ 的力 $F_{2}$（图8－27）。问 $\theta_{1}, \theta_{2}, x_{1}, x_{2},\left|F_{1}\right|$ ，
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$\left|\boldsymbol{F}_{2}\right|$ 符合怎样的条件才能使杜杆保持平衡？
8-2-6
📝 有解析
第8-2-6题
6．求向量 $\boldsymbol{a}=(4,-3,4)$ 在向量 $\boldsymbol{b}=(2,2,1)$ 上的投影．
8-2-7
📝 有解析
第8-2-7题
7．设 $\boldsymbol{a}=(3,5,-2), \boldsymbol{b}=(2,1,4)$ ，问 $\lambda$ 与 $\mu$ 有怎样的关系，能使得 $\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{b}$ 与 $z$ 轴垂直？
8-2-8
📝 有解析
第8-2-8题
8．试用向量证明直径所对的圆周角是直角．
8-2-9
📝 有解析
第8-2-9题
9．已知向量 $a=2 i-3 j+k, b=i-j+3 k$ 和 $c=i-2 j$ ，计算：
（1）$(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c}-(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{b}$ ；
（2）$(a+b) \times(b+c)$ ；
（3）$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}$ ．
8-2-*12
📝 有解析
第8-2-*12题
＊12．已知 $\boldsymbol{a}=\left(a_{x}, a_{y}, a_{z}\right), \boldsymbol{b}=\left(b_{x}, b_{y}, b_{z}\right), \boldsymbol{c}=\left(c_{x}, c_{y}, c_{z}\right)$ ，试利用行列式的性质证明：
$$
(a \times b) \cdot c=(b \times c) \cdot a=(c \times a) \cdot b .
$$
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