习题9-1

1．判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集，并分别指出它们的聚点所成的点集（称为导集）和边界． （1）$\{(x, y) \mid x \neq 0, y \neq 0\}$ ； （2）$\left\{(x, y) \mid 1\lt x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ； （3）$\left\{(x, y) \mid y\gt x^{2}\right\}$ ； （4）$\left\{(x, y) \mid x^{2}+(y-1)^{2} \geqslant 1\right\} \cap\left\{(x, y) \mid x^{2}+(y-2)^{2} \leqslant 4\right\}$ ．

2．已知函数 $f(x, y)=x^{2}+y^{2}-x y \tan \frac{x}{y}$ ，试求 $f(t x, t y)$ ．

3．试证函数 $F(x, y)=\ln x \cdot \ln y$ 满足关系式 $$ F(x y, u v)=F(x, u)+F(x, v)+F(y, u)+F(y, v) . $$

4．已知函数 $f(u, v, w)=u^{w}+w^{u+v}$ ，试求 $f(x+y, x-y, x y)$ ．

5．求下列各函数的定义域： （1）$z=\ln \left(y^{2}-2 x+1\right)$ ； （2）$z=\frac{1}{\sqrt{x+y}}+\frac{1}{\sqrt{x-y}}$ ； （3）$z=\sqrt{x-\sqrt{y}}$ ； （4）$z=\ln (y-x)+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}$ ； （5）$u=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}}(R\gt r\gt 0)$ ； （6）$u=\arccos \frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ．

6．求下列各极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,1)} \frac{1-x y}{x^{2}+y^{2}}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(1,0)} \frac{\ln \left(x+\mathrm{e}^{y}\right)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2-\sqrt{x y+4}}{x y}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{\sqrt{2-\mathrm{e}^{x y}}-1}$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(2,0)} \frac{\tan (x y)}{y}$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{1-\cos \left(x^{2}+y^{2}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{e}^{x^{2} y^{2}}}$ ．

8．函数 $z=\frac{y^{2}+2 x}{y^{2}-2 x}$ 在何处是间断的？

＊10．设 $F(x, y)=f(x), f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续，证明：对任意 $y_{0} \in \mathbb{R}, F(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续．

＊7．证明下列极限不存在： （1） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x+y}{x-y}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2}+(x-y)^{2}}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x+y}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{1-\cos (x+y)}{(x+y) x y}$ ．

＊9．证明 $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0$ ．