习题9-2

1．设 $f(x, y)=\mathrm{e}^{\sqrt{x^{2}+y^{4}}}$ ，求 $f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ ．

10．验证： （1）$y=\mathrm{e}^{-k n^{2} t} \sin n x$ 满足 $\frac{\partial y}{\partial t}=k \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}$ ； （2）$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ 满足 $\frac{\partial^{2} r}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} r}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} r}{\partial z^{2}}=\frac{2}{r}$ ．

2．求下列函数的偏导数： （1）$z=x^{3} y-y^{3} x$ ； （2）$s=\frac{u^{2}+v^{2}}{u v}$ ； （3）$z=\sqrt{\ln (x y)}$ ； （4）$z=\sin (x y)+\cos ^{2}(x y)$ ； （5）$z=\ln \tan \frac{x}{y}$ ； （6）$z=(1+x y)^{y}$ ； （7）$u=x^{\frac{y}{z}}$ ； （8）$u=\arctan (x-y)^{z}$ ．

3．设 $T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ ，求证 $l \frac{\partial T}{\partial l}+g \frac{\partial T}{\partial g}=0$ ．

4．设 $z=\mathrm{e}^{-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)}$ ，求证 $x^{2} \frac{\partial z}{\partial x}+y^{2} \frac{\partial z}{\partial y}=2 z$ ．

5．设 $f(x, y)=x+(y-1) \arcsin \sqrt{\frac{x}{y}}$ ，求 $f_{x}(x, 1)$ ．

6．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=\frac{x^{2}+y^{2}}{4} \\ y=4\end{array}\right.$ 在点 $(2,4,5)$ 处的切线对于 $x$ 轴的倾角．

7．求下列函数的 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ 和 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ： （1）$z=x^{4}+y^{4}-4 x^{2} y^{2}$ ； （2）$z=\arctan \frac{y}{x}$ ； （3）$z=y^{x}$ ．

8．设 $f(x, y, z)=x y^{2}+y z^{2}+z x^{2}$ ，求 $f_{x x}(0,0,1), f_{x z}(1,0,2), f_{y z}(0,-1,0)$ 及 $f_{z x x}(2,0,1)$ ．

9．设 $z=x \ln (x y)$ ，求 $\frac{\partial^{3} z}{\partial x^{2} \partial y}$ 及 $\frac{\partial^{3} z}{\partial x \partial y^{2}}$ ．