习题9-5

1．设 $\sin y+\mathrm{e}^{x}-x y^{2}=0$ ，求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ．

11．求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数： （1）设 $\left\{\begin{array}{l}z=x^{2}+y^{2}, \\ x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=20,\end{array}\right.$ 求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d} z}{\mathrm{~d} x}$ ； （2）设 $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=0, \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\end{array}\right.$ 求 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} z}, \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} z}$ ； （3）设 $\left\{\begin{array}{l}u=f(u x, v+y), \\ v=g\left(u-x, v^{2} y\right),\end{array}\right.$ 其中 $f, g$ 具有一阶连续偏导数，求 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial x}$ ； （4）设 $\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{e}^{u}+u \sin v, \\ y=\mathrm{e}^{u}-u \cos v,\end{array}\right.$ 求 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial y}$ ．

12．设 $y=f(x, t)$ ，而 $t=t(x, y)$ 是由方程 $F(x, y, t)=0$ 所确定的函数，其中 $f, F$ 都具有一阶连续偏导数．试证明 $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial t}-\frac{\partial f}{\partial t} \frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial t} \frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial t}} $$

2．设 $\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\arctan \frac{y}{x}$ ，求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ．

3．设 $x+2 y+z-2 \sqrt{x y z}=0$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 及 $\frac{\partial z}{\partial y}$ ．

4．设 $\frac{x}{z}=\ln \frac{z}{y}$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 及 $\frac{\partial z}{\partial y}$ ．

5．设 $2 \sin (x+2 y-3 z)=x+2 y-3 z$ ，证明 $\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=1$ ．

6．设 $x=x(y, z), y=y(x, z), z=z(x, y)$ 都是由方程 $F(x, y, z)=0$ 所确定的具有连续偏导数的函数，证明 $\frac{\partial x}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}=-1$ ．

7．设 $\Phi(u, v)$ 具有连续偏导数，证明由方程 $\Phi(c x-a z, c y-b z)=0$ 所确定的函数 $z=f(x, y)$ 满足 $a \frac{\partial z}{\partial x}+b \frac{\partial z}{\partial y}=c$.

8．设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $2 x z-2 x y z+\ln (x y z)=0$ 所确定的隐函数，求 $\mathrm{d} z$ ．

＊10．设 $z^{3}-3 x y z=a^{3}$ ，求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．

＊9．设 $\mathrm{e}^{z}-x y z=0$ ，求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$ ．