习题9-7

1．求函数 $z=x^{2}+y^{2}$ 在点 $(1,2)$ 处沿从点 $(1,2)$ 到点 $(2,2+\sqrt{3})$ 的方向的方向导数．

10．求函数 $u=x y^{2} z$ 在点 $P_{0}(1,-1,2)$ 处变化最快的方向，并求沿这个方向的方向导数．

2．求函数 $z=\ln (x+y)$ 在抛物线 $y^{2}=4 x$ 上点 $(1,2)$ 处，沿着这抛物线在该点处偏向 $x$ 轴正向的切线方向的方向导数．

3．求函数 $z=1-\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)$ 在点 $\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ 处沿曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 在该点的内法线方向的方向导数．

4．求函数 $u=x y^{2}+z^{3}-x y z$ 在点 $(1,1,2)$ 处沿方向角为 $\alpha=\frac{\pi}{3}, \beta=\frac{\pi}{4}, \gamma=\frac{\pi}{3}$ 的方向的方向导数．

5．求函数 $u=x y z$ 在点 $(5,1,2)$ 处沿从点 $(5,1,2)$ 到点 $(9,4,14)$ 的方向的方向导数．

6．求函数 $u=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 在曲线 $x=t, y=t^{2}, z=t^{3}$ 上点 $(1,1,1)$ 处，沿曲线在该点的切线正方向（对应于 $t$ 增大的方向）的方向导数．

7．求函数 $u=x+y+z$ 在球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 上点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处，沿球面在该点的外法线方向的方向导数．

8．设 $f(x, y, z)=x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}+x y+3 x-2 y-6 z$ ，求 $$ \operatorname{grad} f(0,0,0) \quad \text { 及 } \operatorname{grad} f(1,1,1) . $$

9．设函数 $u(x, y, z), v(x, y, z)$ 的各个偏导数都存在且连续，证明： （1）$\nabla(c u)=c \nabla u$（其中 $c$ 为常数）； （2）$\nabla(u \pm v)=\nabla u \pm \nabla v$ ； （3）$\nabla(u v)=v \nabla u+u \nabla v$ ； （4）$\nabla\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v \nabla u-u \nabla v}{v^{2}} \quad(v \neq 0)$ ．