同济高数 第9章 第9-7-7题

[AI解答]

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我们要求函数 $u = x + y + z$ 在球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 上某点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处，沿着该点球面外法线方向的方向导数。

第一步：求梯度

函数 $u$ 的梯度为：
$$
\nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) = (1, 1, 1)
$$

第二步：确定外法线方向向量

球面方程为 $F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0$。
其梯度方向即为法线方向：
$$
\nabla F = (2x, 2y, 2z)
$$
在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处，外法线方向向量为：
$$
\mathbf{n} = (2x_0, 2y_0, 2z_0)
$$
其模长为：
$$
|\mathbf{n}| = \sqrt{4x_0^2 + 4y_0^2 + 4z_0^2} = 2\sqrt{x_0^2 + y_0^2 + z_0^2} = 2
$$
因为点在球面上，所以 $x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = 1$。

因此单位外法线方向向量为：
$$
\mathbf{n}_0 = \left( \frac{2x_0}{2}, \frac{2y_0}{2}, \frac{2z_0}{2} \right) = (x_0, y_0, z_0)
$$

第三步：方向导数公式

方向导数定义为：
$$
\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}_0} = \nabla u \cdot \mathbf{n}_0
$$
代入：
$$
\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}_0} = (1, 1, 1) \cdot (x_0, y_0, z_0) = x_0 + y_0 + z_0
$$

因此，所求方向导数为：
$$
\boxed{x_0 + y_0 + z_0}
$$

难度评级：★☆☆☆☆
此题只需掌握梯度与方向导数的基本概念，计算简单，属于基础题。