同济高数 第9章 第9-8-4题
📝 题目
4．求两直线 $\left\{\begin{array}{l}y=2 x, \\ z=x+1\end{array}\right.$ 与 $\left\{\begin{array}{l}y=x+3, \\ z=x\end{array}\right.$ 之间的最短距离．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求两条直线之间的最短距离。先将两条直线写成对称式或参数式。
第一步：将直线化为参数方程
第一条直线：
$$
\begin{cases}
y = 2x, \\
z = x + 1
\end{cases}
$$
令 $x = t$，则参数式为：
$$
L_1: \quad (x, y, z) = (t,\; 2t,\; t+1)
$$
第二条直线：
$$
\begin{cases}
y = x + 3, \\
z = x
\end{cases}
$$
令 $x = s$，则参数式为：
$$
L_2: \quad (x, y, z) = (s,\; s+3,\; s)
$$
第二步：取方向向量与两点
$L_1$ 方向向量：$\vec{v}_1 = (1, 2, 1)$
$L_2$ 方向向量：$\vec{v}_2 = (1, 1, 1)$
取 $L_1$ 上一点 $P_1 = (0, 0, 1)$（对应 $t=0$）
取 $L_2$ 上一点 $P_2 = (0, 3, 0)$（对应 $s=0$）
则向量：
$$
\overrightarrow{P_1P_2} = (0-0,\; 3-0,\; 0-1) = (0, 3, -1)
$$
第三步：最短距离公式
两异面直线距离：
$$
d = \frac{\left| \left( \overrightarrow{P_1P_2} \right) \cdot \left( \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 \right) \right|}{\| \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 \|}
$$
先计算叉积：
$$
\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}(2\cdot 1 - 1\cdot 1) - \mathbf{j}(1\cdot 1 - 1\cdot 1) + \mathbf{k}(1\cdot 1 - 2\cdot 1)
$$
$$
= \mathbf{i}(2-1) - \mathbf{j}(1-1) + \mathbf{k}(1-2) = (1, 0, -1)
$$
模长：
$$
\| \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 \| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}
$$
点积：
$$
\overrightarrow{P_1P_2} \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2) = (0, 3, -1) \cdot (1, 0, -1) = 0\cdot 1 + 3\cdot 0 + (-1)\cdot (-1) = 1
$$
第四步：代入公式
$$
d = \frac{|1|}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
$$
因此，两直线之间的最短距离为 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$。
难度：★★☆☆☆