同济高数 第1章 第1-4-*3题
📝 题目
＊3．根据定义证明：$\displaystyle y=\frac{1+2 x}{x}$ 为当 $x \rightarrow 0$ 时的无穷大．问 $x$ 应满足什么条件，能使 $|y|\gt 10^{4}$ ？
💡 答案解析
[AI解答]
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要证明 $ y = \frac{1+2x}{x} $ 当 $ x \to 0 $ 时为无穷大，即对任意给定的正数 $ M > 0 $，存在 $ \delta > 0 $，使得当 $ 0 < |x| < \delta $ 时，有
$$
|y| = \left| \frac{1+2x}{x} \right| > M.
$$
首先化简表达式：
$$
y = \frac{1+2x}{x} = \frac{1}{x} + 2.
$$
于是
$$
|y| = \left| \frac{1}{x} + 2 \right|.
$$
当 $ x $ 充分接近 0 时，$ \frac{1}{x} $ 的绝对值会非常大，因此 $ |y| $ 可以大于任意大的正数。
为了严格证明，我们考虑：
若取 $ 0 < |x| < \frac{1}{M+2} $，则
$$
\left| \frac{1}{x} \right| > M+2,
$$
从而
$$
\left| \frac{1}{x} + 2 \right| \geq \left| \frac{1}{x} \right| - 2 > (M+2) - 2 = M.
$$
因此，取 $ \delta = \frac{1}{M+2} $，即满足定义。所以 $ y $ 是当 $ x \to 0 $ 时的无穷大。
---
第二问：要使 $ |y| > 10^4 $，即
$$
\left| \frac{1}{x} + 2 \right| > 10^4.
$$
由于当 $ x $ 很小时，$ \frac{1}{x} $ 占主导，我们可近似要求
$$
\left| \frac{1}{x} \right| - 2 > 10^4 \quad \Rightarrow \quad \left| \frac{1}{x} \right| > 10^4 + 2.
$$
即
$$
|x| < \frac{1}{10^4 + 2}.
$$
更精确地，也可直接解不等式：
$$
\frac{1}{x} + 2 > 10^4 \quad \text{或} \quad \frac{1}{x} + 2 < -10^4.
$$
第一式给出 $ \frac{1}{x} > 10^4 - 2 $，即 $ 0 < x < \frac{1}{10^4 - 2} $；
第二式给出 $ \frac{1}{x} < -10^4 - 2 $，即 $ -\frac{1}{10^4 + 2} < x < 0 $。
因此 $ x $ 应满足：
$$
-\frac{1}{10^4 + 2} < x < 0 \quad \text{或} \quad 0 < x < \frac{1}{10^4 - 2}.
$$
难度：★★☆☆☆