同济高数 第2章 第2-4-2题
📝 题目
2．求曲线 $\displaystyle x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ 在点 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{4} a, \frac{\sqrt{2}}{4} a\right)$ 处的切线方程和法线方程．
💡 答案解析
[AI解答]
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已知曲线方程为：
$$
x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}
$$
点坐标为：
$$
\left( \frac{\sqrt{2}}{4}a,\ \frac{\sqrt{2}}{4}a \right)
$$
第一步：隐函数求导
对等式两边关于 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数：
$$
\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} + \frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}} \cdot y' = 0
$$
两边同时乘以 $\frac{3}{2}$：
$$
x^{-\frac{1}{3}} + y^{-\frac{1}{3}} y' = 0
$$
解得：
$$
y' = -\frac{x^{-\frac{1}{3}}}{y^{-\frac{1}{3}}} = -\left( \frac{y}{x} \right)^{\frac{1}{3}}
$$
第二步：计算该点斜率
代入 $x = \frac{\sqrt{2}}{4}a,\ y = \frac{\sqrt{2}}{4}a$，得：
$$
y' = -\left( \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}a}{\frac{\sqrt{2}}{4}a} \right)^{\frac{1}{3}} = -1^{\frac{1}{3}} = -1
$$
所以切线斜率 $k = -1$。
第三步：切线方程
点斜式：
$$
y - \frac{\sqrt{2}}{4}a = -1 \left( x - \frac{\sqrt{2}}{4}a \right)
$$
整理得：
$$
y = -x + \frac{\sqrt{2}}{2}a
$$
第四步：法线方程
法线斜率 $k_{\perp} = -\frac{1}{k} = 1$，方程为：
$$
y - \frac{\sqrt{2}}{4}a = 1 \cdot \left( x - \frac{\sqrt{2}}{4}a \right)
$$
整理得：
$$
y = x
$$
最终结果
切线方程：
$$
\boxed{y = -x + \frac{\sqrt{2}}{2}a}
$$
法线方程：
$$
\boxed{y = x}
$$
难度：★☆☆☆☆