同济高数 第3章 第3-3-4题
📝 题目
4．求函数 $f(x)=\ln x$ 按 $x-2$ 的幂展开的带有佩亚诺余项的 $n$ 阶泰勒公式．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求函数 $ f(x) = \ln x $ 在 $ x_0 = 2 $ 处展开为带有佩亚诺余项的 $ n $ 阶泰勒公式。
首先，泰勒展开的一般形式为：
$$
f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k + o\left((x - x_0)^n\right)
$$
这里 $ x_0 = 2 $，因此我们需计算 $ f(x) = \ln x $ 在 $ x=2 $ 处的各阶导数。
1. 计算各阶导数：
$$
f(x) = \ln x,\quad f(2) = \ln 2
$$
$$
f'(x) = \frac{1}{x},\quad f'(2) = \frac{1}{2}
$$
$$
f''(x) = -\frac{1}{x^2},\quad f''(2) = -\frac{1}{2^2}
$$
$$
f'''(x) = \frac{2}{x^3},\quad f'''(2) = \frac{2}{2^3} = \frac{1}{4}
$$
$$
f^{(4)}(x) = -\frac{6}{x^4},\quad f^{(4)}(2) = -\frac{6}{16} = -\frac{3}{8}
$$
一般地，我们可以归纳出：
$$
f^{(k)}(x) = (-1)^{k-1} \frac{(k-1)!}{x^k},\quad k \ge 1
$$
因此
$$
f^{(k)}(2) = (-1)^{k-1} \frac{(k-1)!}{2^k}
$$
2. 代入泰勒公式：
对于 $ k=0 $ 项：
$$
\frac{f(2)}{0!}(x-2)^0 = \ln 2
$$
对于 $ k \ge 1 $ 项：
$$
\frac{f^{(k)}(2)}{k!} (x-2)^k = \frac{(-1)^{k-1} (k-1)!}{k! \, 2^k} (x-2)^k
= \frac{(-1)^{k-1}}{k \cdot 2^k} (x-2)^k
$$
3. 写出展开式：
$$
\ln x = \ln 2 + \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k \cdot 2^k} (x-2)^k + o\left((x-2)^n\right)
$$
这就是按 $ x-2 $ 的幂展开的带有佩亚诺余项的 $ n $ 阶泰勒公式。
最终结果：
$$
\boxed{\ln x = \ln 2 + \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k \cdot 2^k} (x-2)^k + o\left((x-2)^n\right)}
$$
难度评级：★★☆☆☆
（主要考察泰勒公式的标准推导与归纳，计算量不大，但需注意符号与阶乘化简）