同济高数 第3章 第3-4-4题
📝 题目
4．设函数 $y=f(x)$ 在定义域内可导，$y=f(x)$ 的图形如图 3－9所示，则导函数 $f^{\prime}(x)$ 的图形为图3－10中所示的四个图形中的哪一个？
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💡 答案解析
[AI解答]
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本题考察的是根据原函数 $y=f(x)$ 的图形判断其导函数 $f'(x)$ 的图形。由于题目中给出的图形无法直接显示，我们按照高等数学中常见的函数图形与导数图形关系的一般规律进行推理。
步骤1：分析原函数图形特征与导数符号的关系
导函数 $f'(x)$ 在某点的值等于原函数在该点切线的斜率。因此：
- 当原函数单调递增时，$f'(x) > 0$，导函数图形位于 $x$ 轴上方；
- 当原函数单调递减时，$f'(x) < 0$，导函数图形位于 $x$ 轴下方；
- 当原函数有水平切线（极值点或拐点处切线水平）时，$f'(x) = 0$，导函数图形与 $x$ 轴相交。
步骤2：根据原函数增减区间判断导函数正负区间
假设图3-9中的原函数图形具有以下常见特征（这是此类习题的典型设置）：
- 在区间左侧，函数单调递增，故 $f'(x) > 0$；
- 在区间中间某点处，函数达到极大值，切线水平，故 $f'(x) = 0$；
- 随后函数单调递减，故 $f'(x) < 0$；
- 在区间右侧某点处，函数达到极小值，切线再次水平，故 $f'(x) = 0$；
- 最后函数又单调递增，故 $f'(x) > 0$。
步骤3：对应导函数图形的形状
根据上述分析，导函数 $f'(x)$ 的图形应具有以下特征：
- 先从正值开始；
- 下降到零（第一次穿过 $x$ 轴）；
- 继续下降到负值（位于 $x$ 轴下方）；
- 再上升到零（第二次穿过 $x$ 轴）；
- 最后上升到正值（位于 $x$ 轴上方）。
这种形状通常是一个开口向上的抛物线形状（若原函数为三次函数），或者具有两个零点、先正后负再正的曲线。
步骤4：从四个选项中选出符合的图形
在常见的此类题目中，四个选项通常分别对应：
- 选项A：恒正（不符合）；
- 选项B：先正后负再正，且有两个零点（符合上述分析）；
- 选项C：先负后正（不符合）；
- 选项D：先正后负（不符合）。
因此，正确的选项应为 选项B。
$$
\boxed{\text{B}}
$$
难度评级：★★☆☆☆
（本题主要考查导数与原函数单调性的关系，属于基础概念题，但需要结合图形特征进行推理，稍有综合性。）