同济高数 第4章 第4-5-13题
📝 题目
13． $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2}(1-x)} \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求解不定积分：
$$
\int \frac{1}{x^{2}(1-x)} \, \mathrm{d}x
$$
第一步：化为部分分式
被积函数是有理函数，分母为 $x^2(1-x)$，可设：
$$
\frac{1}{x^{2}(1-x)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{1-x}
$$
两边乘以 $x^{2}(1-x)$ 得：
$$
1 = A x (1-x) + B (1-x) + C x^{2}
$$
整理：
$$
1 = A x - A x^{2} + B - B x + C x^{2}
$$
$$
1 = (-A + C) x^{2} + (A - B) x + B
$$
比较系数：
- 常数项： $B = 1$
- $x$ 项系数： $A - B = 0 \Rightarrow A = 1$
- $x^{2}$ 项系数： $-A + C = 0 \Rightarrow C = 1$
因此：
$$
\frac{1}{x^{2}(1-x)} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{1-x}
$$
第二步：逐项积分
$$
\int \frac{1}{x^{2}(1-x)} \, \mathrm{d}x
= \int \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x + \int \frac{1}{x^{2}} \, \mathrm{d}x + \int \frac{1}{1-x} \, \mathrm{d}x
$$
分别计算：
$$
\int \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x = \ln|x|
$$
$$
\int \frac{1}{x^{2}} \, \mathrm{d}x = \int x^{-2} \, \mathrm{d}x = -x^{-1} = -\frac{1}{x}
$$
$$
\int \frac{1}{1-x} \, \mathrm{d}x = -\ln|1-x|
$$
第三步：合并结果
$$
\int \frac{1}{x^{2}(1-x)} \, \mathrm{d}x = \ln|x| - \frac{1}{x} - \ln|1-x| + C
$$
也可以写成：
$$
\boxed{\ln\left|\frac{x}{1-x}\right| - \frac{1}{x} + C}
$$
难度：★☆☆☆☆（只需部分分式分解与基本积分公式，步骤清晰，计算简单）