同济高数 第4章 第4-5-21题

[AI解答]

[AI解答]
我们要求解不定积分
$$
\int \frac{dx}{x^{2} \sqrt{2x-1}}.
$$

第一步：变量代换
令
$$
t = \sqrt{2x-1}, \quad 则 \quad t^{2} = 2x - 1 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{t^{2}+1}{2}.
$$
对 $x$ 求微分：
$$
dx = t\, dt.
$$

第二步：代入积分
原积分变为
$$
\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{2x-1}}\,dx
= \int \frac{1}{\left(\frac{t^{2}+1}{2}\right)^{2} \cdot t} \cdot t\, dt
= \int \frac{1}{\frac{(t^{2}+1)^{2}}{4}} \, dt
= 4 \int \frac{dt}{(t^{2}+1)^{2}}.
$$

第三步：计算三角函数积分
对于
$$
\int \frac{dt}{(t^{2}+1)^{2}},
$$
令 $t = \tan \theta$，则 $dt = \sec^{2}\theta\, d\theta$，且 $t^{2}+1 = \sec^{2}\theta$，于是
$$
\int \frac{dt}{(t^{2}+1)^{2}} = \int \frac{\sec^{2}\theta}{\sec^{4}\theta}\, d\theta
= \int \cos^{2}\theta\, d\theta.
$$

**第四步：计算 $\cos^{2}\theta$ 的积分**
利用公式 $\cos^{2}\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$，得
$$
\int \cos^{2}\theta\, d\theta = \frac{1}{2}\int (1+\cos 2\theta)\, d\theta
= \frac{1}{2}\left( \theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta \right) + C.
$$
又因为 $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$，而
$$
\sin\theta = \frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}},\quad \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}},
$$
所以
$$
\frac{1}{2}\sin 2\theta = \sin\theta\cos\theta = \frac{t}{1+t^{2}}.
$$
因此
$$
\int \frac{dt}{(t^{2}+1)^{2}} = \frac{1}{2}\left( \arctan t + \frac{t}{1+t^{2}} \right) + C.
$$

第五步：回代
原积分
$$
4 \int \frac{dt}{(t^{2}+1)^{2}} = 2\left( \arctan t + \frac{t}{1+t^{2}} \right) + C.
$$
将 $t = \sqrt{2x-1}$ 代回：
$$
\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{2x-1}} = 2\left( \arctan \sqrt{2x-1} + \frac{\sqrt{2x-1}}{1+(2x-1)} \right) + C.
$$
注意 $1+(2x-1) = 2x$，所以
$$
\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{2x-1}} = 2\arctan\sqrt{2x-1} + \frac{\sqrt{2x-1}}{x} + C.
$$

最终结果
$$
\boxed{2\arctan\sqrt{2x-1} + \frac{\sqrt{2x-1}}{x} + C}.
$$

难度：★★☆☆☆