同济高数 第7章 第7-1-4题
📝 题目
4．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初值条件：
（1）$x^{2}-y^{2}=C,\left.y\right|_{x=0}=5$ ；
（2）$y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) \mathrm{e}^{2 x},\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ ；
（3）$y=C_{1} \sin \left(x-C_{2}\right),\left.y\right|_{x=\pi}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=\pi}=0$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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习题7-1 第4题解答
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（1）
已知函数关系：
$$
x^{2} - y^{2} = C
$$
初值条件：
$$
\left. y \right|_{x=0} = 5
$$
将 $x=0, y=5$ 代入关系式：
$$
0^{2} - 5^{2} = C \quad\Rightarrow\quad C = -25
$$
因此参数确定为：
$$
\boxed{C = -25}
$$
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（2）
已知函数关系：
$$
y = (C_{1} + C_{2}x) e^{2x}
$$
初值条件：
$$
\left. y \right|_{x=0} = 0,\quad \left. y' \right|_{x=0} = 1
$$
**第一步：代入 $x=0$ 求 $C_1$**
$$
y(0) = (C_1 + C_2\cdot 0) e^{0} = C_1 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_1 = 0
$$
第二步：求导
由 $y = C_2 x e^{2x}$，利用乘积法则：
$$
y' = C_2 e^{2x} + C_2 x \cdot 2 e^{2x} = C_2 e^{2x} (1 + 2x)
$$
**第三步：代入 $x=0$ 求 $C_2$**
$$
y'(0) = C_2 e^{0} (1 + 0) = C_2 = 1
$$
因此参数为：
$$
\boxed{C_1 = 0,\quad C_2 = 1}
$$
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（3）
已知函数关系：
$$
y = C_1 \sin(x - C_2)
$$
初值条件：
$$
\left. y \right|_{x=\pi} = 1,\quad \left. y' \right|_{x=\pi} = 0
$$
**第一步：代入 $x=\pi$ 求关系**
$$
y(\pi) = C_1 \sin(\pi - C_2) = C_1 \sin C_2 = 1 \quad (1)
$$
（因为 $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$）
第二步：求导
$$
y' = C_1 \cos(x - C_2)
$$
代入 $x=\pi$：
$$
y'(\pi) = C_1 \cos(\pi - C_2) = -C_1 \cos C_2 = 0
$$
因此
$$
- C_1 \cos C_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_1 \cos C_2 = 0
$$
第三步：解参数
若 $C_1 = 0$，则由 (1) 得 $0 = 1$，矛盾。
故必有 $\cos C_2 = 0$，即
$$
C_2 = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k \in \mathbb{Z}
$$
代入 (1)：
$$
C_1 \sin\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right) = C_1 \cdot (-1)^k = 1
$$
因此
$$
C_1 = (-1)^k
$$
通常取主值，例如取 $k=0$ 得：
$$
C_1 = 1,\quad C_2 = \frac{\pi}{2}
$$
所以参数为：
$$
\boxed{C_1 = 1,\ C_2 = \frac{\pi}{2}}
$$
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难度评级：★★☆☆☆