第21章 含参变元的积分

例 1 设 $b > a > 0$ ,试计算积分 $$
I = {\int }_{0}^{1}\frac{{x}^{b} - {x}^{a}}{\ln x}\mathrm{\;d}x.
$$

例 2 设 $r \in \left( {-1,1}\right)$ ,试计算积分 $$
J\left( r\right) = {\int }_{0}^{\pi }\ln \left( {1 - {2r}\cos \theta + {r}^{2}}\right) \mathrm{d}\theta .
$$

例 2 考察定义于 $\lbrack 0, + \infty ) \times \lbrack 1, + \infty )$ 的函数 $$
F\left( {x,v}\right) = \left\{ \begin{matrix} \frac{x}{{v}^{2}}, & \text{ 如果 }x < v, \\ \frac{{2v} - x}{{v}^{2}}, & \text{ 如果 }v \leq x < {2v}, \\ 0 & \text{ 如果 }x \geq {2v}. \end{matrix}\right.
$$ 显然有 $$
\left| {F\left( {x,v}\right) }\right| \leq \frac{1}{v},\;\forall \left( {x,v}\right) \in \lbrack 0, + \infty ) \times \lbrack 1, + \infty ).
$$ 由此可知 $$
F\left( {x,v}\right) \rightarrow 0\;\left( {x \in \lbrack 0, + \infty }\right) ,v \rightarrow + \infty ).
$$ 但却有 $$
\mathop{\lim }\limits_{{v \rightarrow + \infty }}{\int }_{0}^{+\infty }F\left( {x,v}\right) \mathrm{d}x = 1 \neq 0.
$$ 关于在广义积分号下取极限的充分条件, 我们有下面的引理: 引理 假设 (1) 函数 $F\left( {x,v}\right)$ 在 $\lbrack a, + \infty ) \times \lbrack b, + \infty )$ 连续; (2)对任意的 $x \in \lbrack a, + \infty )$ ,存在有穷的极限 $$
\mathop{\lim }\limits_{{v \rightarrow + \infty }}F\left( {x,v}\right) = \varphi \left( x\right) ,
$$ 并且对任意给定的 $A > a$ ,当 $\displaystyle{v \rightarrow + \infty}$ 时,函数 $F\left( {x,v}\right)$ 关于 $x \in$ $\left\lbrack {a,A}\right\rbrack$ 一致地收敛于极限函数 $\varphi \left( x\right)$ ,即 $$
F\left( {x,v}\right) \rightarrow \varphi \left( x\right) \;\left( {x \in \left\lbrack {a,A}\right\rbrack ,v \rightarrow + \infty }\right) ;
$$ (3)函数 $F\left( {x,v}\right)$ 能被一个与 $v$ 无关的可积函数 “控制”——这就是说: 存在一个定义于 $\lbrack a, + \infty )$ 的非负函数 $G\left( x\right)$ ,使得 $$
{\int }_{a}^{+\infty }G\left( x\right) \mathrm{d}x < + \infty
$$ 和 $$
\left| {F\left( {x,v}\right) }\right| \leq G\left( x\right) ,\;\forall x \in \lbrack a, + \infty ),v \in \lbrack b, + \infty ).
$$ 在上面所说的条件下, 我们有 $$
\mathop{\lim }\limits_{{v \rightarrow + \infty }}{\int }_{a}^{+\infty }F\left( {x,v}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{+\infty }\varphi \left( x\right) \mathrm{d}x,
$$ 也就是 $$
\mathop{\lim }\limits_{{v \rightarrow + \infty }}{\int }_{a}^{+\infty }F\left( {x,v}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{+\infty }\left( {\mathop{\lim }\limits_{{v \rightarrow + \infty }}F\left( {x,v}\right) }\right) \mathrm{d}x.
$$

例 3 设函数 $g\left( x\right)$ 在 $\lbrack 0, + \infty )$ 连续并且广义可积,求证 $$
\mathop{\lim }\limits_{{a \rightarrow 0 + }}{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{ax}}g\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{+\infty }g\left( x\right) \mathrm{d}x
$$

解 我们有: (1)
$$
{\int }_{0}^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{ax}} - {\mathrm{e}}^{-{bx}}}{x}\mathrm{\;d}x
$$ $$
= {\int }_{0}^{+\infty }\mathrm{d}x{\int }_{a}^{b}{\mathrm{e}}^{-{xy}}\mathrm{\;d}y
$$ $$
= {\int }_{a}^{b}\mathrm{\;d}y{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{xy}}\mathrm{\;d}x
$$ $$
= {\int }_{a}^{b}\frac{\mathrm{d}y}{y} = \ln \frac{b}{a}.
$$ 这里交换积分的次序是合理的, 因为积分 $$
{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{xy}}\mathrm{\;d}x
$$ 对 $y \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 一致收敛 (可用魏尔斯特拉斯判别法判定). (2)
$$
{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\cos {ax} - \cos {bx}}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x
$$ $$
= {\int }_{0}^{+\infty }\mathrm{d}x{\int }_{a}^{b}\frac{\sin {xy}}{x}\mathrm{\;d}y
$$ $$
= {\int }_{a}^{b}\mathrm{\;d}y{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin {xy}}{x}\mathrm{\;d}x.
$$ 这里交换积分次序是允许的, 因为积分 $$
{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin {xy}}{x}\mathrm{\;d}x \tag{3.2}
$$ 对 $y \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 一致收敛 (可用狄利克雷判别法判定). 在 (3.2) 式中做变元替换 $x = \frac{u}{y}$ ,就得到 $$
{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin {xy}}{x}\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin u}{u}\mathrm{\;d}u = \frac{\pi }{2}.
$$ 我们最后求得 $$
{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\cos {ax} - \cos {bx}}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{2}\left( {b - a}\right) .
$$

解(1)可以直接利用牛顿-莱布尼茨公式计算: $$
{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{\alpha x}}\cos {\beta x}\mathrm{\;d}x = \frac{\alpha }{{\alpha }^{2} + {\beta }^{2}}.
$$ 为了计算 (2), 我们记 $$
I\left( \beta \right) = {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{\alpha x}}\frac{\sin {\beta x}}{x}\mathrm{\;d}x.
$$ 对 $\beta$ 求导得 $$
{I}^{\prime }\left( \beta \right) = {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{ax}}\cos {\beta x}\mathrm{\;d}x = \frac{\alpha }{{\alpha }^{2} + {\beta }^{2}}.
$$ 这里在积分号下求导是允许的,因为求导后的积分对 $\beta$ 是一致收敛的 (魏尔斯特拉斯判别法). 求解微分方程 $$
{I}^{\prime }\left( \beta \right) = \frac{\alpha }{{\alpha }^{2} + {\beta }^{2}},
$$ 可得 $$
I\left( \beta \right) = \arctan \frac{\beta }{\alpha } + C.
$$ 因为 $I\left( 0\right) = 0$ ,所以 $C = 0$ . 我们得到 $$
{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{\alpha x}}\frac{\sin {\beta x}}{x}\mathrm{\;d}x = \arctan \frac{\beta }{\alpha }.
$$ 为了计算 (3),可以在上式中让 $\alpha \rightarrow 0 +$ 取极限,这样得到 $$
{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin {\beta x}}{x}\mathrm{\;d}x = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\pi }{2}, & \text{ 如果 }\beta > 0, \\ 0, & \text{ 如果 }\beta = 0, \\ - \frac{\pi }{2}, & \text{ 如果 }\beta < 0. \end{array}\right.
$$ 我们用到这样的事实: 因为积分 $$
{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{ax}}\frac{\sin {\beta x}}{x}\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{ax}}}{x}\sin {\beta x}\mathrm{\;d}x
$$ 对 $\alpha \geq 0$ 一致收敛 (狄利克雷判别法),这积分是参变元 $\alpha \geq 0$ 的连续函数,所以有 $$
\mathop{\lim }\limits_{{a \rightarrow 0 + }}{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{ax}}\frac{\sin {\beta x}}{x}\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin {\beta x}}{x}\mathrm{\;d}x.
$$ 这个例子中的积分 $$
{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin {\beta x}}{x}\mathrm{\;d}x
$$ 不允许在积分号下对参数 $\beta$ 求导,否则就要得到发散的积分 $$
{\int }_{0}^{+\infty }\cos {\beta x}\mathrm{\;d}x
$$ 为了克服这一困难, 我们引入一个“收敛因子” $$
{\mathrm{e}}^{-{\alpha x}}\;\left( {\alpha > 0}\right) ,
$$ 先来考察这样的积分 $$
{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{ax}}\frac{\sin {\beta x}}{x}\mathrm{\;d}x.
$$ 引入“收敛因子”是计算广义积分时经常用到的一种方法.

例 6 试计算积分 $$
{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\cos {2\beta x}\mathrm{\;d}x.
$$

例 7 试计算拉普拉斯 (Laplace) 积分 $$
{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\cos {\beta x}}{{\alpha }^{2} + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x\;\text{ 和 }\;{\int }_{0}^{+\infty }\frac{x\sin {\beta x}}{{\alpha }^{2} + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x.
$$

例 4 的展式 $$
\pi \cot {\pi x} = \frac{1}{x} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{2x}{{x}^{2} - {n}^{2}},
$$ 我们得到 $$
\pi \cot {\pi x} - \frac{1}{x} = {\psi }^{\prime }\left( x\right) ,\;\ln \frac{\sin {\pi x}}{x} = \psi \left( x\right) + C.
$$ 让 $x \rightarrow 0 +$ ,又可确定 $$
C = 0\text{ . }
$$ 我们证明了: $$
\ln \frac{\sin {\pi x}}{x} = \psi \left( x\right) ,\;\frac{\sin {\pi x}}{x} = \pi \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 - \frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}}\right) ,
$$ $$
\forall x \in \left( {0,1}\right) \text{ . }
$$ 推论 我们有 $$
\sin x = x\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 - \frac{{x}^{2}}{{n}^{2}{\pi }^{2}}}\right) ,\;\forall x \in \mathbb{R}.
$$

例 1 试证明 (1) $\mathrm{B}\left( {x,y}\right) = {\int }_{0}^{+\infty }\frac{{u}^{x - 1}}{{\left( 1 + u\right) }^{x + y}}\mathrm{\;d}u$ , (2) $\mathrm{B}\left( {x,y}\right) = {\int }_{0}^{1}\frac{{u}^{x - 1} + {u}^{y - 1}}{{\left( 1 + u\right) }^{x + y}}\mathrm{\;d}u$ .

例 2 试计算积分 $$
{\int }_{0}^{\pi /2}{\sin }^{\alpha }x \cdot {\cos }^{\beta }x\mathrm{\;d}x\;\left( {\alpha > - 1,\beta > - 1}\right) .
$$

例 3 试计算积分 $$
{\int }_{0}^{\pi /2}{\left( \tan x\right) }^{a}\mathrm{\;d}x\;\left( {\left| \alpha \right| < 1}\right) .
$$