📝 题目
例 6 设 $n$ 为整数,若 $\forall t > 0,f\left( {{tx},{ty}}\right) = {t}^{n}f\left( {x,y}\right)$ ,则称 $f$ 是 $n$ 次齐次函数. 证明: $f\left( {x,y}\right)$ 是零次齐次函数的充要条件是
$$ x\frac{\partial f}{\partial x} + y\frac{\partial f}{\partial y} = 0. $$
💡 答案与解析
证法 1 必要性 由条件得
$$ f\left( {{tx},{ty}}\right) = f\left( {x,y}\right) \;\left( {\forall t > 0}\right) , $$
上述恒等式对 $t$ 求导,得
$$ x{f}_{x}^{\prime }\left( {{tx},{ty}}\right) + y{f}_{y}^{\prime }\left( {{tx},{ty}}\right) = 0. $$
令 $t = 1$ ,即得
$$ x{f}_{x}^{\prime }\left( {x,y}\right) + y{f}_{y}^{\prime }\left( {x,y}\right) = 0. $$
(记号 ${f}_{x}^{\prime }\left( {{tx},{ty}}\right)$ 理解成函数 $f\left( {x,y}\right)$ 对 $x$ 求偏导数,然后变量用 ${tx}$ , ${ty}$ 代入.)
充分性 令 $x = r\cos \theta ,y = r\sin \theta$ . 由