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5．设 $D=\{(x, y) \mid 1 \leqslant x \leqslant 2,1 \leqslant y \leqslant 2\}$ ，则 $\iint_{D}(x-y)^{2}[\tan (x-y)+\sin (x-y)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
$\_\_\_\_$ ．
5．设 $J_{i}=\iint_{D_{i}} \sqrt[3]{x-y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y(i=1,2,3)$ ，其中 $D_{1}=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}, D_{2}=\{(x$, y） $\mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant \sqrt{x}\}, D_{3}=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1, x^{2} \leqslant y \leqslant 1\right\}$ ，则（ ）．
（A）$J_{1}<J_{2}<J_{3}$
（B）$J_{3}<J_{1}<J_{2}$
（C）$J_{2}<J_{3}<J_{1}$
（D）$J_{2}<J_{1}<J_{3}$
5．设 $a, b$ 为实数，函数 $z=1+a x^{2}+b y^{2}$ 在点 $(1,1)$ 处的方向导数中，沿方向 $l=2 i+4 j$ 的方向导数最大，且最大值为 $2 \sqrt{5}$ 。公众号：研池大叔 免费分享最新考研资料课程
（1）求 $a, b$ ；
（2）求曲面 $z=1+a x^{2}+b y^{2}$ 被曲面 $z=2\left(x^{2}+3 y^{2}\right)$ 所截部分的面积．
设 $\Omega$ 由 $\displaystyle x^{2}+\frac{y^{2}}{2^{2}}+\frac{z^{2}}{3^{2}} \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 1$ 所确定，则 $\iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} v=$ $\_\_\_\_$ $\iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} v=$ ．
6． $\displaystyle \int_{-1}^{0} \mathrm{~d} x \int_{\left(1-x^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}}^{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}(1-\sin x \cos y) \mathrm{d} y+\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{\left(1-x^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}}^{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}(1-\sin x \cos y) \mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$。
设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a x(a>0)$ ，则面积分 $\iint_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ ，则 $\iint_{\Sigma}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} S=$ $\_\_\_\_$ ．
## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）
设 $C$ 为 $|x|+|y|=1$ ，取正向，则 $\displaystyle \oint_{C} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{|x|+|y|}=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $C$ 为上半圆周 $y=\sqrt{2 x-x^{2}}$ 从 $O(0,0)$ 到 $A(2,0)$ 的弧段，则 $\int_{C}\left(x \mathrm{e}^{y^{2}}-2 y\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-1\right) y \mathrm{e}^{y^{2}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
608设 $C$ 为曲线 $y=\sqrt{\pi} x^{2}$ 上从 $O(0,0)$ 到 $A(1, \sqrt{\pi})$ 的曲线段，则 $\int_{C} \cos y^{2} \mathrm{~d} x-2 x y \sin y^{2} \mathrm{~d} y=$
$\_\_\_\_$ ．
设 $\Gamma$ 为曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=1 \\ x-y+z=2\end{array}\right.$ ，从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看去为顺时针方向，则 $I=\oint_{\Gamma}(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 在第一卦限部分的下侧，则 $\iint_{\Sigma} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$。
设 $D$ 是由 $x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}, y \geqslant 0$ 所确定的上半圆域，则 $D$ 的形心的 $y$ 坐标 $\bar{y}=$ $\_\_\_\_$ ．
下列结论
（1）$\oint_{x^{2}+y^{2}=a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} s=a^{2} \oint_{x^{2}+y^{2}=a^{2}} \mathrm{~d} s=2 \pi a^{3}$ ．
（2） $\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=a^{2} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}} \mathrm{~d} \sigma=\pi a^{4}$ ．
（3）$\oiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S=a^{2} \oiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}} \mathrm{~d} S=4 \pi a^{4}$ ．
（4） $\displaystyle \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} v=a^{2} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}} \mathrm{~d} v=\frac{4}{3} \pi a^{5}$ ．
中正确的条数为
（A） 1 条。
（B） 2 条．
（C） 3 条．
（D） 4 条．
二重积分的概念（曲顶柱体体积、平面薄片质量）
第 5 题
【基础篇】第5题（填空题）
5．设 $D=\{(x, y) \mid 1 \leqslant x \leqslant 2,1 \leqslant y \leqslant 2\}$ ，则 $\iint_{D}(x-y)^{2}[\tan (x-y)+\sin (x-y)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
$\_\_\_\_$ ．
第 5 题
【强化篇】第5题（选择题）
5．设 $J_{i}=\iint_{D_{i}} \sqrt[3]{x-y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y(i=1,2,3)$ ，其中 $D_{1}=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}, D_{2}=\{(x$, y） $\mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant \sqrt{x}\}, D_{3}=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1, x^{2} \leqslant y \leqslant 1\right\}$ ，则（ ）．
（A）$J_{1}<J_{2}<J_{3}$
（B）$J_{3}<J_{1}<J_{2}$
（C）$J_{2}<J_{3}<J_{1}$
（D）$J_{2}<J_{1}<J_{3}$
第 5 题
【基础篇】第5题（解答题）
5．设 $a, b$ 为实数，函数 $z=1+a x^{2}+b y^{2}$ 在点 $(1,1)$ 处的方向导数中，沿方向 $l=2 i+4 j$ 的方向导数最大，且最大值为 $2 \sqrt{5}$ 。公众号：研池大叔 免费分享最新考研资料课程
（1）求 $a, b$ ；
（2）求曲面 $z=1+a x^{2}+b y^{2}$ 被曲面 $z=2\left(x^{2}+3 y^{2}\right)$ 所截部分的面积．
第 596 题
第596题
设 $\Omega$ 由 $\displaystyle x^{2}+\frac{y^{2}}{2^{2}}+\frac{z^{2}}{3^{2}} \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 1$ 所确定，则 $\iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} v=$ $\_\_\_\_$ $\iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} v=$ ．
第 6 题
【强化篇】第6题（填空题）
6． $\displaystyle \int_{-1}^{0} \mathrm{~d} x \int_{\left(1-x^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}}^{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}(1-\sin x \cos y) \mathrm{d} y+\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{\left(1-x^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}}^{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}(1-\sin x \cos y) \mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$。
第 600 题
第600题
设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a x(a>0)$ ，则面积分 $\iint_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S=$ $\_\_\_\_$ ．
第 600 题
## 第600题 (高等数学 - 填空题)
设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a x(a>0)$ ，则面积分 $\iint_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a x(a>0)$ ，则面积分 $\iint_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S=$ $\_\_\_\_$ ．
第 601 题
第601题
设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ ，则 $\iint_{\Sigma}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} S=$ $\_\_\_\_$ ．
## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）
第 601 题
## 第601题 (高等数学 - 填空题)
设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ ，则 $\iint_{\Sigma}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} S=$ $\_\_\_\_$ ．
## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）
设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ ，则 $\iint_{\Sigma}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} S=$ $\_\_\_\_$ ．
## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）
第 606 题
第606题
设 $C$ 为 $|x|+|y|=1$ ，取正向，则 $\displaystyle \oint_{C} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{|x|+|y|}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 607 题
第607题
设 $C$ 为上半圆周 $y=\sqrt{2 x-x^{2}}$ 从 $O(0,0)$ 到 $A(2,0)$ 的弧段，则 $\int_{C}\left(x \mathrm{e}^{y^{2}}-2 y\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-1\right) y \mathrm{e}^{y^{2}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
608设 $C$ 为曲线 $y=\sqrt{\pi} x^{2}$ 上从 $O(0,0)$ 到 $A(1, \sqrt{\pi})$ 的曲线段，则 $\int_{C} \cos y^{2} \mathrm{~d} x-2 x y \sin y^{2} \mathrm{~d} y=$
$\_\_\_\_$ ．
第 607 题
## 第607题 (高等数学 - 填空题)
设 $C$ 为上半圆周 $y=\sqrt{2 x-x^{2}}$ 从 $O(0,0)$ 到 $A(2,0)$ 的弧段，则 $\int_{C}\left(x \mathrm{e}^{y^{2}}-2 y\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-1\right) y \mathrm{e}^{y^{2}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
608设 $C$ 为曲线 $y=\sqrt{\pi} x^{2}$ 上从 $O(0,0)$ 到 $A(1, \sqrt{\pi})$ 的曲线段，则 $\int_{C} \cos y^{2} \mathrm{~d} x-2 x y \sin y^{2} \mathrm{~d} y=$
$\_\_\_\_$ ．
设 $C$ 为上半圆周 $y=\sqrt{2 x-x^{2}}$ 从 $O(0,0)$ 到 $A(2,0)$ 的弧段，则 $\int_{C}\left(x \mathrm{e}^{y^{2}}-2 y\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-1\right) y \mathrm{e}^{y^{2}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
608设 $C$ 为曲线 $y=\sqrt{\pi} x^{2}$ 上从 $O(0,0)$ 到 $A(1, \sqrt{\pi})$ 的曲线段，则 $\int_{C} \cos y^{2} \mathrm{~d} x-2 x y \sin y^{2} \mathrm{~d} y=$
$\_\_\_\_$ ．
第 609 题
第609题
设 $\Gamma$ 为曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=1 \\ x-y+z=2\end{array}\right.$ ，从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看去为顺时针方向，则 $I=\oint_{\Gamma}(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z=$ $\_\_\_\_$ ．
第 609 题
## 第609题 (高等数学 - 填空题)
设 $\Gamma$ 为曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=1 \\ x-y+z=2\end{array}\right.$ ，从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看去为顺时针方向，则 $I=\oint_{\Gamma}(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $\Gamma$ 为曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=1 \\ x-y+z=2\end{array}\right.$ ，从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看去为顺时针方向，则 $I=\oint_{\Gamma}(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z=$ $\_\_\_\_$ ．
第 611 题
第611题
设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 在第一卦限部分的下侧，则 $\iint_{\Sigma} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$。
第 612 题
第612题
设 $D$ 是由 $x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}, y \geqslant 0$ 所确定的上半圆域，则 $D$ 的形心的 $y$ 坐标 $\bar{y}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 613 题
## 第613题 (概率论与数理统计 - 填空题)
设 $\Gamma$ 为质量均匀分布的半圆 $y=\sqrt{1-x^{2}}$ ，线密度为 $\rho$ ，则 $\Gamma$ 对 $x$ 轴的转动惯量 $I_{x}=$
$\_\_\_\_$。
◯614 设 $f(x, y, z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ，则 $\left.\operatorname{div}(\operatorname{grad} f)\right|_{(1,-2,2)}=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $\Gamma$ 为质量均匀分布的半圆 $y=\sqrt{1-x^{2}}$ ，线密度为 $\rho$ ，则 $\Gamma$ 对 $x$ 轴的转动惯量 $I_{x}=$
$\_\_\_\_$。
◯614 设 $f(x, y, z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ，则 $\left.\operatorname{div}(\operatorname{grad} f)\right|_{(1,-2,2)}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 615 题
## 第615题 (线性代数 - 填空题)
向量场 $\boldsymbol{A}(x, y, z)=(x+y+z) \boldsymbol{i}+x y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k}$ 的旋度 $\operatorname{rot} \boldsymbol{A}=$ $\_\_\_\_$。
向量场 $\boldsymbol{A}(x, y, z)=(x+y+z) \boldsymbol{i}+x y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k}$ 的旋度 $\operatorname{rot} \boldsymbol{A}=$ $\_\_\_\_$。
第 644 题
第644题
下列结论
（1）$\oint_{x^{2}+y^{2}=a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} s=a^{2} \oint_{x^{2}+y^{2}=a^{2}} \mathrm{~d} s=2 \pi a^{3}$ ．
（2） $\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=a^{2} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}} \mathrm{~d} \sigma=\pi a^{4}$ ．
（3）$\oiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S=a^{2} \oiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}} \mathrm{~d} S=4 \pi a^{4}$ ．
（4） $\displaystyle \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} v=a^{2} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}} \mathrm{~d} v=\frac{4}{3} \pi a^{5}$ ．
中正确的条数为
（A） 1 条。
（B） 2 条．
（C） 3 条．
（D） 4 条．
第 644 题
## 第644题 (高等数学 - 选择题)
下列结论
（1）$\oint_{x^{2}+y^{2}=a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} s=a^{2} \oint_{x^{2}+y^{2}=a^{2}} \mathrm{~d} s=2 \pi a^{3}$ ．
（2） $\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=a^{2} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}} \mathrm{~d} \sigma=\pi a^{4}$ ．
（3）$\oiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S=a^{2} \oiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}} \mathrm{~d} S=4 \pi a^{4}$ ．
（4） $\displaystyle \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} v=a^{2} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}} \mathrm{~d} v=\frac{4}{3} \pi a^{5}$ ．
中正确的条数为
（A） 1 条。
（B） 2 条．
（C） 3 条．
（D） 4 条．
下列结论
（1）$\oint_{x^{2}+y^{2}=a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} s=a^{2} \oint_{x^{2}+y^{2}=a^{2}} \mathrm{~d} s=2 \pi a^{3}$ ．
（2） $\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=a^{2} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}} \mathrm{~d} \sigma=\pi a^{4}$ ．
（3）$\oiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S=a^{2} \oiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}} \mathrm{~d} S=4 \pi a^{4}$ ．
（4） $\displaystyle \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} v=a^{2} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}} \mathrm{~d} v=\frac{4}{3} \pi a^{5}$ ．
中正确的条数为
（A） 1 条。
（B） 2 条．
（C） 3 条．
（D） 4 条．