5．$\displaystyle n(n \geq 2)$ 级方阵可逆当且仅当 A 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 可逆。
解答：正确，$\displaystyle n(n \geq 2)$ 级方阵可逆 $\displaystyle \Leftrightarrow$ 行列式不为零。

9．（10 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 是可逆的对称实矩阵。证明：二次型的矩阵
$\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\left|\begin{array}{cccc}0 & x_{1} & \cdots & x_{n} \\ -x_{1} & a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ -x_{n} & a_{n 1} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|$ 是 $\displaystyle A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 。

3．（16 分）设 $\displaystyle A, B \in P^{n \times n}$ ，求证：$\displaystyle (A B)^{*}=B^{*} A^{*}$ 。
证明：
（1）当 $\displaystyle |A B| \neq 0$ 时，这时有 $\displaystyle |A| \neq 0,|B| \neq 0$ ，由公式 $\displaystyle A^{*}=|A| A^{-1}$ ，可得

$$
(A B)^{*}=|A B|(A B)^{-1}=|B| B^{-1}|A| A^{-1}=B^{*} A^{*} \text { 。结论成立 }
$$

（2）当 $\displaystyle |A B|=0$ 时，考虑矩阵 $\displaystyle A(\lambda)=A-\lambda E, B(\lambda)=B-\lambda E$ ，由于 $\displaystyle A 、 B$ 都
最多只有有限个特征值，因此存在无穷多个 $\displaystyle \lambda$ ，使得 $\displaystyle |A(\lambda)| \neq 0,|B(\lambda)| \neq 0$
（1）
那么有上面（1）的结论有 $\displaystyle \quad(A(\lambda) B(\lambda))^{*}=(B(\lambda))^{*}(A(\lambda))^{*} \quad$（2）

令 $\displaystyle (A(\lambda) B(\lambda))^{*}=\left(f_{i j}(\lambda)\right)_{n \times n},(B(\lambda))^{*}(A(\lambda))^{*}=\left(g_{i j}(\lambda)\right)_{n \times n}$
由（2）式有 $\displaystyle f_{i j}(\lambda)=g_{i j}(\lambda)$

由于有无穷多个 $\displaystyle \lambda$ 使（1）式成立，从而有无穷多个 $\displaystyle \lambda$ 使（3）式成立，但 $\displaystyle f_{i j}(\lambda), g_{i j}(\lambda)$ 都是多项式，从而（3）式对一切 $\displaystyle \lambda$ 都成立。特别令 $\displaystyle \lambda=0$ ，有

$$
(A B)^{*}=(A(0) B(0))^{*}=B *(0) A *(0)=B * A * \text { 。证毕 }
$$

5．$\displaystyle \exists b \neq 0, A x=b$ 证明：$\displaystyle A^{*} x=b$ 有解的充要条件为 $\displaystyle r(A)=n-1$