共 4 题
题20174中国科学院真题
三、 $\displaystyle (12+8=20$ 分）设 $\displaystyle A, B$ 是 $\displaystyle n$ 阶方阵，$\displaystyle A$ 可逆，$\displaystyle B$ 幂零，$\displaystyle A B=B A$ ．
（1）求证：$\displaystyle A+B$ 可逆；
（2）试举例说明要使（1）结论成立，条件 $\displaystyle A B=B A$ 是不可缺少的．
证明：（1）$\displaystyle \because A B=B A \quad \therefore$ 存在可逆矩阵 $\displaystyle P$ 使 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 同为上三角矩阵，且上三角矩阵的主对角元素是它们的特征值
$\displaystyle \therefore P^{-1}(A+B) P$ 为上三角矩阵，且主对角元素为 $\displaystyle A, B$ 的特征值之和
$\displaystyle \because A$ 可逆，$\displaystyle B$ 幂零 $\displaystyle \therefore A$ 的特征值均不为零，$\displaystyle B$ 的特征值都是零
$\displaystyle \therefore P^{-1}(A+B) P$ 的特征值就是 $\displaystyle A$ 的特征值
$\displaystyle \therefore P^{-1}(A+B) P$ 可逆 $\displaystyle \therefore A+B$ 可逆．
（2）例如 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，显然 $\displaystyle A$ 可逆，$\displaystyle B$ 幂零。
$\displaystyle \because A B=\left(\begin{array}{ll}0 & 2 \\ 0 & 2\end{array}\right) \neq\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 0 & 0\end{array}\right)=B A, \quad A+B=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right)$ 不可逆
∴ 条件 $\displaystyle A B=B A$ 是不可缺少的．
（1）求证：$\displaystyle A+B$ 可逆；
（2）试举例说明要使（1）结论成立，条件 $\displaystyle A B=B A$ 是不可缺少的．
证明：（1）$\displaystyle \because A B=B A \quad \therefore$ 存在可逆矩阵 $\displaystyle P$ 使 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 同为上三角矩阵，且上三角矩阵的主对角元素是它们的特征值
$\displaystyle \therefore P^{-1}(A+B) P$ 为上三角矩阵，且主对角元素为 $\displaystyle A, B$ 的特征值之和
$\displaystyle \because A$ 可逆，$\displaystyle B$ 幂零 $\displaystyle \therefore A$ 的特征值均不为零，$\displaystyle B$ 的特征值都是零
$\displaystyle \therefore P^{-1}(A+B) P$ 的特征值就是 $\displaystyle A$ 的特征值
$\displaystyle \therefore P^{-1}(A+B) P$ 可逆 $\displaystyle \therefore A+B$ 可逆．
（2）例如 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，显然 $\displaystyle A$ 可逆，$\displaystyle B$ 幂零。
$\displaystyle \because A B=\left(\begin{array}{ll}0 & 2 \\ 0 & 2\end{array}\right) \neq\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 0 & 0\end{array}\right)=B A, \quad A+B=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right)$ 不可逆
∴ 条件 $\displaystyle A B=B A$ 是不可缺少的．
题20460南京大学真题
5．设 $\displaystyle V$ 为数域 $\displaystyle P$ 上的有限维线性空间，$\displaystyle A, B, C$ 都是 $\displaystyle V$ 上的线性变换，并且 $\displaystyle \mathcal{A}$ 不是零变换．如果 $\displaystyle \mathcal{A B}=\mathcal{A C}$ ，则 $\displaystyle B=\mathcal{C}$ ．
题20470南京大学真题
6．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2} \ldots \ldots \alpha_{r}$ 与 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2} \ldots \ldots \beta_{\mathrm{s}}$ 为两个 n 维向量组。若 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2} \ldots \ldots \alpha_{r}$ 可由 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2} \ldots \ldots \beta_{\mathrm{s}}$ 线性表出且 $\displaystyle r \leq s$ ，则 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2} \ldots \ldots \alpha_{r}$ 线性无关。
解答：错误，该题容易和设向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2} \ldots \ldots \beta_{\mathrm{r}}$ 可以由向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2} \ldots \ldots \alpha_{s}$ 线性表出，如果 $\displaystyle r>s$ ，那么向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2} \ldots \ldots \beta_{\mathrm{r}}$ 线性相关相混淆。
解答：错误，该题容易和设向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2} \ldots \ldots \beta_{\mathrm{r}}$ 可以由向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2} \ldots \ldots \alpha_{s}$ 线性表出，如果 $\displaystyle r>s$ ，那么向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2} \ldots \ldots \beta_{\mathrm{r}}$ 线性相关相混淆。