八、（15 分）设 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 是复数域上所有 $\displaystyle n$ 阶方阵所组成的线性空间，$\displaystyle T: M_{n}(\mathbb{C}) \rightarrow \mathbb{C}$ 是线性映射，满足

$$
T(A B)=T(B A)
$$


求证：$\displaystyle \forall A \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，总 $\displaystyle \exists \lambda \in \mathbb{C}$ 使

$$
T(A)=\lambda \operatorname{tr}(A)
$$


证明：反证法．$\displaystyle \forall A \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，假设 $\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb{C}$ 怛有 $\displaystyle T(A) \neq \lambda \operatorname{tr}(A)$ 。
设 $\displaystyle T(A)=t_{A} \in \mathbb{C}$ ，若 $\displaystyle t_{A}=0$ ，取 $\displaystyle \lambda=0$ 有 $\displaystyle t_{A}=\lambda \operatorname{tr}(A)$ ，这与假设矛盾，故 $\displaystyle t_{A} \neq 0$ ．
若 $\displaystyle \operatorname{tr}(A) \neq 0$ ，令 $\displaystyle \lambda=\frac{t_{A}}{\operatorname{tr}(A)}$ ，则 $\displaystyle t_{A}=\lambda \operatorname{tr}(A)$ ，这与假设矛盾，故 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=0$ ．
下面证明假设不成立。
另取 $\displaystyle \forall B \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，设 $\displaystyle T(B)=t_{B} \in \mathbb{C}$ ，则对 $\displaystyle t_{A}, t_{B}$ 总存在 $\displaystyle a, b \in \mathbb{C}$ 使

$$
a t_{A}+b t_{B}=0
$$


由之前的讨论，结合 $\displaystyle A$ 的任意性可得 $\displaystyle \operatorname{tr}(a A+b B)=0$
$\displaystyle \because T$ 是线性映射

$$
\therefore T(a A+b B)=a T(A)+b T(B)=a t_{A}+b t_{B}=0=\lambda \operatorname{tr}(a A+b B)
$$


这与假设矛盾，故假设不成立，所以 $\displaystyle \forall A \in M_{n}(\mathbb{C}), \exists \lambda \in \mathbb{C}$ 使

$$
T(A)=\lambda \operatorname{tr}(A)
$$


由于 $\displaystyle \operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A)$ ，所以 $\displaystyle T(A B)=\lambda \operatorname{tr}(A B)=\lambda \operatorname{tr}(B A)=T(B A)$ 满足题意，故 $\displaystyle \forall A \in M_{n}(\mathbb{C}), ~$ 总 $\displaystyle \exists \lambda \in \mathbb{C}$ 使

$$
T(A)=\lambda \operatorname{tr}(A)
$$

1．（10 分）设整系数多项式 $\displaystyle f(x)$ 的次数是 $\displaystyle n=2 m$ 或 $\displaystyle n=2 m+1$（其中 $\displaystyle m$ 为正整数）．

证明：如果有 $\displaystyle k(\geq 2 m+1)$ 个不同的整数 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{k}$ 使 $\displaystyle f\left(\alpha_{i}\right)$ 取值 1 或 -1 ，则 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约．（提示：用反证法）

四（20分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上连续，证明
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \mathrm{d} x$
（2）若 $\displaystyle f(x) \geq 0, x \in[0, \pi]$ ，且 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，
则 $\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[0, \pi]$ ，
证 记 $\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \mathrm{d} x$
（1）令 $\displaystyle x=\pi-t$ ，则
$\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{\pi}(\pi-t) f(\sin t) \mathrm{d} t=\pi \int_{0}^{\pi} f(\sin t) \mathrm{d} t-I$
因此，左 $\displaystyle =I=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin t) \mathrm{d} t=$ 右
（2）（用反证法）若不然，则 $\displaystyle \exists x_{0} \in[0, \pi]$ 使得 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)>0$ ，
由极限的保号性，存在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 使得 $\displaystyle x_{0} \in[a, b] \subset[0, \pi]$ ，且当 $\displaystyle x \in(a, b)$ 时，
有 $\displaystyle f(x)>\frac{f\left(x_{0}\right)}{2}$ ，

这与 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=0$ 矛盾．

5．$\displaystyle \exists b \neq 0, A x=b$ 证明：$\displaystyle A^{*} x=b$ 有解的充要条件为 $\displaystyle r(A)=n-1$