3）证明更一般的结论：若 $\displaystyle J^{-1}$ 变为 $\displaystyle K^{-1}(Z), K(Z)=\left(k_{a b}\right) \in \mathbb{R}^{2 n \times 2 n}$ 反对称，可逆且满足恒等式 $\displaystyle \frac{\partial k_{a b}}{\partial z_{c}}+\frac{\partial k_{b c}}{\partial z_{a}}+\frac{\partial k_{c a}}{\partial z_{b}}=0,1 \leq a, b, c \leq 2 n$ ，则系统的相流总是满足：

$$
\left[\frac{\partial g^{t}(Z)}{\partial Z}\right]^{T} K\left(g^{t}(Z)\right)\left[\frac{\partial g^{t}(Z)}{\partial Z}\right]=K(Z) .
$$


这更一般情况下系统的相流是指任意给定一个 $\displaystyle Z, g^{t}(Z)$ 是系统的解：

$$
\frac{d g^{t}(Z)}{d t}=K^{-1}(Z) \nabla H\left(g^{t}(Z)\right)
$$
设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n \times n$ 正定实对称矩阵，$\displaystyle y \in \mathbb{R}^{n}$ ，且 $\displaystyle y \neq 0$ 。证明极限

$$
\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{y^{T} A^{m+1} y}{y^{T} A^{m} y}
$$


存在且等于 $\displaystyle A$ 的一个特征值（其中 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 表示 $\displaystyle n$ 维实数域）。
证明：由题意，存在正交阵 $\displaystyle P$ ，使得 $\displaystyle A=P^{T} A P=P^{-1} A P$ ，其中

$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
\lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_{n}
\end{array}\right)
$$


且 $\displaystyle 0<\lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n}$ 为 $\displaystyle A$ 的特征值．于是

$$
\begin{aligned}
\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{y^{T} A^{m+1} y}{y^{T} A^{m} y} & =\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{y^{T} A^{m+1} y}{y^{T} A^{m} y} \\
& =\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k}^{m+1} y_{k}^{2}}{\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k}^{m} y_{k}^{2}} \\
& =\lambda_{j} \lim _{m \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{j-1}\left(\lambda_{k} / \lambda_{j}\right)^{m+1} y_{k}^{2}+y_{j}^{2}}{\sum_{k=1}^{j-1}\left(\lambda_{k} / \lambda_{j}\right)^{m} y_{k}^{2}+y_{j}^{2}}\left(\text { 其中 } j=\max \left\{k \mid y_{k} \neq 0\right\}\right) \\
& =\lambda_{j}
\end{aligned}
$$
1）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ 为线性变换 $\displaystyle A$ 在一组基下的矩阵表示，求 $\displaystyle A$ 的不变子空间；

八．（15 分）
设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right)$ ，求正交矩阵 $\displaystyle T$ 使得 $\displaystyle T^{-1} A T$ 成为对角矩阵。

十、（15 分）设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 均为对称变换，且有 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ，试证 $\displaystyle \sigma, \tau$ 在某个标准正交基下的矩阵均为对角阵。