共 3 题
题20127中国科学院真题
2．（15 分）给定两个四维向量 $\displaystyle \alpha_{1}=\left(\frac{1}{3},-\frac{2}{3}, 0, \frac{2}{3}\right)^{T}, \alpha_{2}=\left(-\frac{2}{\sqrt{6}}, 0, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}\right)$ ．求作一个四阶正交矩阵 $\displaystyle Q$ ，以 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 作为它的前两个列向量．
题20232北京大学真题
5．（14 分）在实数域上的 $\displaystyle n$ 维列向量空间 $\displaystyle R^{n}$ 中，定义内积为 $\displaystyle (\alpha, \beta)=\alpha^{T} \beta$ ，从而 $\displaystyle R^{n}$ 成为欧几里的空间．
（1）．设实数域上的矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & -3 & 5 & -2 \\
-2 & 1 & -3 & 1 \\
-1 & -7 & 9 & -4
\end{array}\right)
$$
求齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解空间的一个正交基．
（2）设 $\displaystyle A$ 是实数域 $\displaystyle R$ 上的 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，用 $\displaystyle W$ 表示齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解空间，用 $\displaystyle U$表示 $\displaystyle A^{T}$ 的列空间（即，$\displaystyle A^{T}$ 的列向量组成的子空间）。证明：$\displaystyle U=W^{\perp}$ ．
（1）．设实数域上的矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & -3 & 5 & -2 \\
-2 & 1 & -3 & 1 \\
-1 & -7 & 9 & -4
\end{array}\right)
$$
求齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解空间的一个正交基．
（2）设 $\displaystyle A$ 是实数域 $\displaystyle R$ 上的 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，用 $\displaystyle W$ 表示齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解空间，用 $\displaystyle U$表示 $\displaystyle A^{T}$ 的列空间（即，$\displaystyle A^{T}$ 的列向量组成的子空间）。证明：$\displaystyle U=W^{\perp}$ ．
题20461南京大学真题
三、（20 分）试用正交线性替换将二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}- 4 x_{1} x_{3}-8 x_{2} x_{3}$ 化成标准形，并写出所用的正交线性替换．