2．（15 分）给定两个四维向量 $\displaystyle \alpha_{1}=\left(\frac{1}{3},-\frac{2}{3}, 0, \frac{2}{3}\right)^{T}, \alpha_{2}=\left(-\frac{2}{\sqrt{6}}, 0, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}\right)$ ．求作一个四阶正交矩阵 $\displaystyle Q$ ，以 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 作为它的前两个列向量．

10．设 $\displaystyle a$ 是一个非零的 $\displaystyle n$ 维实列向量，$\displaystyle A=E_{n}-2 \frac{a a^{\prime}}{a^{\prime} a}$ ．则 $\displaystyle A$ 是正交矩阵并且 1 是 $\displaystyle A$ 的 $\displaystyle n-1$ 重特征值．

3．（12 分）设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n$ 阶正交矩阵（即满足 $\displaystyle A A^{T}=E$ ，其中 $\displaystyle E$ 是 $\displaystyle n$ 阶单位矩阵，$\displaystyle A^{T}$ 表

示矩阵 $\displaystyle A$ 的转置），且 $\displaystyle E+A$ 为可逆矩阵证．明：$\displaystyle (E-A)(E+A)^{-1}$ 是反对称矩阵．