5．设正整数 $\displaystyle \mathrm{n} \geq 2$ ，用 $\displaystyle M_{n}(k)$ 表示数域 k 上全体 $\displaystyle \mathrm{n} \times \mathrm{n}$ ，矩阵关于矩阵加法和数乘所构成的 k上的线性空间。在 $\displaystyle M_{n}(k)$ 中定义变换 $\displaystyle \sigma$ 如下：
$\displaystyle \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\left(a_{i j}^{\prime}\right)_{n \times n}, \forall\left(a_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(k)$,
其中：$\displaystyle a_{i j}^{\prime}=\left\{\begin{array}{l}a_{i j}, i \neq j ; \\ i \cdot \operatorname{tr}(A), i=j .\end{array}\right.$
（1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle M_{n}(k)$ 上的线性变换；
（2）求出： $\displaystyle \operatorname{ker}(\sigma)$ 的维数与一组基；
（3）求出：$\displaystyle \sigma$ 的全部特征子空间．
证明：
（1）$\displaystyle \forall\left(a_{i j}\right)_{n \times n},\left(b_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(\mathrm{k}), \mathrm{k} \in K$ ，则
$\displaystyle \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}+\left(b_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\sigma\left(\left(\left(a_{i j}+b_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}\right)=\sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)+\sigma\left(\left(b_{i j}\right)_{n \times n}\right)\right.$ ；
$\displaystyle \sigma\left(k\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\sigma\left(\left(k a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\left(k a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=k\left(a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=k \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)$ ；
$\displaystyle \therefore \sigma$ 线性变换。
（2）$\displaystyle \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=0 \Rightarrow\left(a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=0 \Rightarrow a_{i j}^{\prime}=\left\{\begin{array}{l}a_{i j}=0, i \neq j ; \\ i \cdot \operatorname{tr}(A)=0, i=j . \Rightarrow \operatorname{tr}(A)=0 ;\end{array}\right.$ ；
$\displaystyle \therefore \operatorname{ker}(\sigma)$ 的维数是 $\displaystyle n-r$ 维，
基为：$\displaystyle \alpha_{1}=\operatorname{diag}(1,-1,0, \cdots, 0), \alpha_{2}=\operatorname{diag}(1,0,-1,0, \cdots, 0), \cdots, \alpha_{n-1}=\operatorname{diag}(1,0, \cdots, 0,-1)$ 。
（3）取 $\displaystyle M_{n}(\mathrm{k})$ 中的标准基（ $\displaystyle \mathrm{e}_{11}, \mathrm{e}_{12}, \cdots, \mathrm{e}_{\mathrm{nn}}$ ），
在这组基下的变换矩阵的特征值 $\displaystyle \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=\frac{n(n+1)}{2}$ ，
对应的特征子空间的维数分别为：$\displaystyle n^{2}-n, n-1,1$ ．
对应的特征子空间的分别为：
$\displaystyle <\mathrm{e}_{\mathrm{ij}}>_{\mathrm{i} \neq \mathrm{j}},<\mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{22}, \mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{33}, \cdots, \mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{\mathrm{nn}}>,<\mathrm{e}_{11}+2 \mathrm{e}_{22}+\cdots+n \mathrm{e}_{\mathrm{nn}}>$ 。

证毕。

八（1）设 $\displaystyle A, B$ 分别为复数矩阵域上的 䂙介和阶方阵，并且 $\displaystyle A, B$ 没有公共的特征值，求证 $\displaystyle A X=X B$ 只有空解（这里 $\displaystyle X=\left(x_{i j}\right)_{k \times k}$ ）
（2）在 $\displaystyle \Re^{n \times n}$ 中，变换 $\displaystyle \mathrm{A}: X \mapsto A X+X A, A \in \Re^{n \times n}, ~ \mathrm{~A}$ 为一个固定的矩阵，且 A 的特征值不为（－A）的特征值，求证：A为一个线形变换。

7．（每小题 9 分，共 18 分）设 $\displaystyle V=P^{r / x n}$ 看成 $\displaystyle P$ 上的线性空间。取定 $\displaystyle A, B, C, D \in P^{n \times n}$ 。对任意 $\displaystyle X=P^{n \times n}$ ，令 $\displaystyle \sigma(x)=A X B+C X+X D$ 。求证：（1）$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle V$ 的线性变换；（2）当时 $\displaystyle C=D=0, \sigma$ 可逆的充要条件是 $\displaystyle |A B| \neq 0$ 。