共 3 题
题20059中国科学院真题
三．（12 分）
设 A 是数域 $\displaystyle F$ 上的 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换。记 $\displaystyle V_{1}=\bigcup_{i=0}^{\infty} K e r \mathrm{~A}^{i}, V_{2}=\bigcap_{i=0}^{\infty} \operatorname{Im} \mathrm{A}^{i}$ ，证明：
（1）$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是 A 的不变子空间；
（2）$\displaystyle V=V_{1}+V_{2}$
设 A 是数域 $\displaystyle F$ 上的 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换。记 $\displaystyle V_{1}=\bigcup_{i=0}^{\infty} K e r \mathrm{~A}^{i}, V_{2}=\bigcap_{i=0}^{\infty} \operatorname{Im} \mathrm{A}^{i}$ ，证明：
（1）$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是 A 的不变子空间；
（2）$\displaystyle V=V_{1}+V_{2}$
题20234北京大学真题
7．（14 分）设 $\displaystyle A$ 是数域 $\displaystyle K$ 上 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 上的一个线性变换，$\displaystyle I$ 是恒等变换．证明： $\displaystyle A^{2}=A$ 的充要条件是 $\displaystyle r(A)+r(A-I)=n$ ．
题20460南京大学真题
5．设 $\displaystyle V$ 为数域 $\displaystyle P$ 上的有限维线性空间，$\displaystyle A, B, C$ 都是 $\displaystyle V$ 上的线性变换，并且 $\displaystyle \mathcal{A}$ 不是零变换．如果 $\displaystyle \mathcal{A B}=\mathcal{A C}$ ，则 $\displaystyle B=\mathcal{C}$ ．