2．（16分）线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\
\cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \\
a_{n-1,1} x_{1}+a_{n-1,2} x_{2}+\cdots+a_{n-1, n} x_{n}=0
\end{array}\right.
$$


的系数矩阵为

$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1, n}
\end{array}\right) .
$$


设 $\displaystyle M_{j}(j=1,2, \cdots, n)$ 是在矩阵 $\displaystyle A$ 中化去第 $\displaystyle j$ 列所得到的 $\displaystyle n-1$ 阶子式。求证：
（1）$\displaystyle \left(M_{1},-M_{2}, \cdots,(-1)^{n-1} M_{n}\right)$ 是方程组的一个解；
（2）如果 $\displaystyle A$ 的秩为 $\displaystyle n-1$ ，那么方程组的解全是 $\displaystyle \left(M_{1},-M_{2}, \cdots,(-1)^{n-1} M_{n}\right)$ 的倍数。

五．（10分）
设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccc}\alpha+\beta & \alpha \beta & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & \alpha+\beta & \alpha \beta & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \alpha+\beta & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & \alpha+\beta\end{array}\right)$ 是 $\displaystyle n$ 级矩阵且 $\displaystyle \alpha \neq \beta$ ，试证：
$\displaystyle A$ 的行列式 $\displaystyle |A|=\frac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\alpha-\beta}$.

9．（10 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 是可逆的对称实矩阵。证明：二次型的矩阵
$\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\left|\begin{array}{cccc}0 & x_{1} & \cdots & x_{n} \\ -x_{1} & a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ -x_{n} & a_{n 1} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|$ 是 $\displaystyle A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 。