习题7-2

1．化三重积分 $I=\displaystyle{\iiint}_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v$ 为三次积分（只需先对 $z$ ，次对 $y$ ，后对 $x$ 一种次序），其中积分区域 $\Omega$ 分别如下。 （1）由三个坐标面与平面 $6 x+3 y+2 z-6=0$ 所围成； （2）由旋转抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 与平面 $z=1$ 所围成； （3）由圆锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与上半球面 $z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 所围成； （4）由双曲抛物面 $z=x y$ 与平面 $x+y=1, z=0$ 所围成。

10．设函数 $f(t)$ 连续，且 $f(0)=0, F(t)=\displaystyle{\iiint}_{\Omega_{t}}\left[z^{2}+f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\right] \mathrm{d} v$ ，其中 $\Omega_{t}=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}, 0 \leqslant z \leqslant 1\right\}$ ，求 $\displaystyle{\lim} _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{F(t)}{t^{2}}$ ．

11．求闭曲线 $\Gamma:\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=a^{2}\left(x^{4}+y^{4}\right)(a\gt 0)$ 所围区域的面积．

12．密度为 1 的立体由曲面 $x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$ 及平面 $z=0, z=\sqrt{3}$ 围成，求它对 $z$ 轴的转动惯量．

13．设密度为常量 $\rho$ 的均质物体占据由抛物面 $z=3-x^{2}-y^{2}$ 与平面 $|x|=1,|y|=1$ ， $z=0$ 所围成的闭区域，试求： （1）物体的质量； （2）物体的质心； （3）物体对于 $z$ 轴的转动惯量。

2．计算下列三重积分。 （1） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} x y \mathrm{~d} v$ ，其中 $\Omega$ 是由三个坐标面与平面 $x+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1$ 所围成的闭区域； （2） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} x^{2} y^{2} \mathrm{~d} v$ ，其中 $\Omega$ 是由平面 $x=1, y=x, y=-x, z=0$ 及 $z=x$ 所围成的闭区域； （3） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} x y z \mathrm{~d} v$ ，其中 $\Omega$ 是由双曲抛物面 $z=x y$ 与平面 $x=1, y=x$ 及 $z=0$ 所围成的闭区域； （4） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} v$ ，其中 $\Omega$ 是由上半球面 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 与平面 $z=0$ 所围成的闭区域； （5） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} v$ ，其中 $\Omega$ 是由球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 z$ 所围成的闭区域； （6） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} z \mathrm{~d} v$ ，其中 $\Omega$ 是由上半球面 $z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 与旋转抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的闭区域； （7） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} z \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} v$ ，其中 $\Omega$ 是由旋转抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 与平面 $z=1$ 所围成的闭区域； （8） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} y \cos (x+z) \mathrm{d} v$ ，其中 $\Omega$ 是由抛物柱面 $y=\sqrt{x}$ 与平面 $y=0, z=0$ 及平面 $x+z=\frac{\pi}{2}$所围成的闭区域。

3．在形状为 $z=x^{2}+y^{2}$ 的容器内，已盛有 $8 \mathrm{~cm}^{3}$ 的液体，现又倒入 $120 \mathrm{~cm}^{3}$ 的溶液，问液面比原来升高了多少？

4．计算三重积分 $I=\displaystyle{\iiint}_{\Omega}(x+y+z) \mathrm{d} v$ ，其中区域 $\Omega$ 由平面 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1(a\gt 0, b\gt 0$ ， $c\gt 0$ ）及三个坐标面所围成。

5．计算三重积分 $I=\displaystyle{\iiint}_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} v$ ，其中区域 $\Omega$ 由椭球面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 所围成。

6．计算三重积分 $I=\displaystyle{\iiint}_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} v$ ，其中区域 $\Omega$ 由平面曲线 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 z, \\ x=0\end{array}\right.$ 绕 $z$ 轴旋转一周而成的曲面与平面 $z=2, z=8$ 所围成。

7．计算三重积分 $I=\displaystyle{\iiint}_{\Omega}(x+y+z) \mathrm{d} v$ ，其中区域 $\Omega$ 由球面 $z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$ 及旋转抛物面 $x^{2}+y^{2}=3 z$ 所围成．

8．计算三重积分 $I=\displaystyle{\iiint}_{\Omega} x^{4} y^{2} z^{3} \mathrm{~d} v$ ，其中区域 $\Omega: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}$ ．

9．设函数 $f(z)$ 连续，将三次积分 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{x}^{1} f(z) \mathrm{d} z$ 用定积分表示．