习题7-3

1．计算下列对弧长的曲线积分． （1）$\displaystyle{\oint}_{L}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{n} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=a^{2}(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{L} \sqrt{y} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为抛物线 $y=x^{2}$ 介于点 $(0,0)$ 与点 $(1,1)$ 之间的那一段弧； （3） $\displaystyle{\int}_{L} x \sin y \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为连接点 $(0,0)$ 与点 $(3 \pi, \pi)$ 的直线段； （4） $\displaystyle{\int}_{L} y \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为抛物线 $y^{2}=4 x$ 上连接点 $(0,0)$ 与点 $(1,2)$ 的直线段； （5） $\displaystyle{\int}_{L} x \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为抛物线 $y=2 x^{2}-1$ 上连接点 $(0,0)$ 与点 $(1,2)$ 的一段弧； （6） $\displaystyle{\int}_{L}(x+y) \mathrm{d} s$ ，其中 $L$ 为连接点 $(1,0)$ 与点 $(0,1)$ 的直线段； （7）$\displaystyle{\oint}_{L} x \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为直线 $y=x$ 与抛物线 $y=x^{2}$ 所围成的区域的整个边界； （8）$\displaystyle{\oint}_{L}|y| \mathrm{d} s$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=1$ ； （9） $\displaystyle{\int}_{L} \sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为上半圆周 $x^{2}+y^{2}=R x, y \geqslant 0$ ； （10）$\displaystyle{\oint}_{L} \mathrm{e}^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=4$ ，直线 $y=x$ 及 $x$ 轴在第一象限内所围成的区域的整个边界； （11）$\displaystyle{\oint}_{L} x y \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为直线 $x=0, y=0, x=4, y=2$ 所围成的矩形区域的整个边界； （12） $\displaystyle{\int}_{L} y^{2} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为摆线的一拱 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t),\end{array} \quad(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)\right.$ ； （13）$\displaystyle{\oint}_{L} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为上半圆周 $x^{2}+y^{2}=2 x(y \geqslant 0)$ 与 $x$ 轴在第一象限内所围成的区域的整个边界； （14） $\displaystyle{\int}_{\Gamma} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\Gamma$ 为曲线 $x=\mathrm{e}^{t} \cos t, y=\mathrm{e}^{t} \sin t, z=\mathrm{e}^{t}$ 相应于 $t$ 从 0 变到 2的一段弧； （15） $\displaystyle{\int}_{\Gamma} x y z \mathrm{~d} s$ ，其中 $\Gamma$ 为有向折线段 $O A B$ ，点 $O 、 A 、 B$ 的坐标依次为 $(0,0,0)$ ， $(1,2,3),(1,4,3)$ ； （16）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma}|y| \mathrm{d} s$ ，其中 $\Gamma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$ 与平面 $x=y$ 的交线； （17）$\displaystyle{\oint}_{L}(x+y) \mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为圆弧 $y=\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ 与直线 $y=x, y=-x$ 所围成的扇形 区域的整个边界。

10．设有一质量为 $m$ 的质点受重力作用在铅直平面上沿某一曲线弧从点 $A\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 移动到点 $B\left(x_{1}, y_{1}\right)$ ，求其重力做功。

11．计算曲线积分 $I=\displaystyle{\oint}_{L} y^{2} \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} y+x^{2} \mathrm{~d} z$ ，其中 $L:\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}, \\ x^{2}+y^{2}=a x,\end{array} \quad(a\gt 0)\right.$ ，从 $z$ 轴正向朝下看逆时针方向。

12．把对坐标的曲线积分 $\displaystyle{\int}_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ 化为对弧长的曲线积分，其中 $L$分别如下。 （1）$x O y$ 面内从点 $(0,0)$ 到点 $(3,4)$ 的直线段； （2）抛物线 $y=x^{2}$ 上从点 $(0,0)$ 到点 $(2,4)$ 的曲线弧； （3）沿上半圆周 $x^{2}+y^{2}=2 x$ 从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ 的一段弧。

13．把对坐标的曲线积分 $\displaystyle{\int}_{\Gamma} P(x, y, z) \mathrm{d} x+Q(x, y, z) \mathrm{d} y+R(x, y, z) \mathrm{d} z$ 化为对弧长的曲线积分，其中 $\Gamma$ 为从点 $(0,0,0)$ 到点 $(1,-2,2)$ 的直线段．

2．计算下列对坐标的曲线积分． （1） $\displaystyle{\int}_{L}\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x$ ，其中 $L$ 为抛物线 $y=x^{2}$ 上从点 $O(0,0)$ 到点 $A(2,4)$ 的一段弧； （2）$\displaystyle{\oint}_{L} x^{2} y^{2} \mathrm{~d} x+x y^{2} \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为直线 $x=1$ 与抛物线 $x=y^{2}$ 围成的区域的边界（按逆时针方向绕行）； （3）$\displaystyle{\oint}_{L} y \mathrm{~d} x$ ，其中 $L$ 为直线 $x=0, y=0, x=4$ 及 $y=2$ 围成的矩形区域的整个边界（按逆时针方向绕行）； （4） $\displaystyle{\int}_{L} y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为圆周 $x=R \cos t, y=R \sin t$ 上对应于 $t$ 从 0 到 $\frac{\pi}{2}$ 的一段弧； （5）$\displaystyle{\oint}_{L}(x+y)^{2} \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=2 a x(a\gt 0)$（按逆时针方向绕行）； （6）$\displaystyle{\oint}_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x+(y-x) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$（按逆时针方向绕行）； （7） $\displaystyle{\int}_{L}(1+2 x y) \mathrm{d} x+x^{2} \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为从点 $(1,0)$ 到点 $(-1,0)$ 的上半椭圆周 $x^{2}+2 y^{2}=1(y \geqslant 0) ;$ （8） $\displaystyle{\int}_{L}(x+y) \mathrm{d} x+x y \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为折线段 $y=1-|1-x|$ 上从点 $(0,0)$ 到点 $(2,0)$的一段； （9） $\displaystyle{\int}_{L}(2 a-y) \mathrm{d} x-(a-y) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为摆线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t) \text { ，上从点 }(0,0) \text { 到点 } \\ y=a(1-\cos t)\end{array}\right. (2 \pi a, ~ 0)$ 的一段弧； （10） $\displaystyle{\int}_{\Gamma} x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y+z \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为从点 $(1,1,1)$ 到点 $(2,3,4)$ 的直线段； （11）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma} \mathrm{d} x-\mathrm{d} y+y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为定向闭折线 $A B C A$ ，这里的 $A 、 B 、 C$ 依次为点 $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) ;$ （12） $\displaystyle{\int}_{\Gamma} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为螺旋线 $x=a \cos t, y=a \sin t, z=k t$ 上相应于 $t$ 从 0 到 $2 \pi$ 的一段弧； （13） $\displaystyle{\int}_{\Gamma} y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+z \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为曲线 $x=1-\cos t, y=\sin t, z=t^{3}$ 上相应于 $t$ 从 0 到 $\pi$的一段弧。

3．计算 $I=\displaystyle{\int}_{L}\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}+x\right) \mathrm{d} y$ 的值，其中 $L$ 分别如下。 （1）从 $A(0,1)$ 到 $C(1,2)$ 的直线； （2）从 $A(0,1)$ 到 $B(1,1)$ 再从 $B(1,1)$ 到 $C(1,2)$ 的折线； （3）从 $A(0,1)$ 沿抛物线 $y=x^{2}+1$ 到 $C(1,2)$ ．

4．计算 $\displaystyle{\int}_{L} y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 分别如下． （1）直线 $A B: A(1,1), B(2,3)$ ； （2）抛物线 $A B: y=2(x-1)^{2}+1, A(1,1), B(2,3)$ ； （3）折线 $A D B, A(1,1), D(2,1), B(2,3)$ ．

5．计算曲线积分 $\displaystyle{\int}_{L} x y \mathrm{~d} s$ ，其中 $L: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ ．

6．计算曲线积分 $\displaystyle{\int}_{L}|y| \mathrm{d} s$ ，其中 $L: x^{2}+y^{2}=1(x \geqslant 0)$ ．

7．计算曲线积分 $\displaystyle{\oint}_{L}|y| \mathrm{d} x+|x| \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为以 $A(1,0) 、 B(0,1)$ 及 $C(-1,0)$ 为顶点的三角形区域的正向边界曲线。

8．有一段铁丝成半圆形 $y=\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ ，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。

9．求匀质的心形线 $r=1+\cos \theta$ 的上半部分弧 $(0 \leqslant \theta \leqslant \pi)$ 的质心．