习题7-5

1．利用格林公式，计算下列曲线积分． （1）$I=\displaystyle{\oint}_{L}\left(x^{2}+y\right) \mathrm{d} x-\left(x-y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（按逆时针方向绕行）； （2）$I=\displaystyle{\oint}_{L} 3 x y \mathrm{~d} x+x^{2} \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为矩形区域 $[-1,3] \times[0,2]$ 的正向边界； （3）$I=\displaystyle{\oint}_{L}(x+y)^{2} \mathrm{~d} x-\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是以点 $(0,0),(1,0),(0,1)$ 为顶点的三角形区域的正向边界； （4）$I=\displaystyle{\oint}_{L}\left(1+y^{2}\right) \mathrm{d} x+y \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为 $[0, \pi]$ 上正弦曲线 $y=\sin x$ 与 $y=2 \sin x$ 所围区域的正向边界； （5）$I=\displaystyle{\oint}_{L}(2 x-y+4) \mathrm{d} x+(3 x+5 y-6) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是以点 $(0,0),(3,0),(3,2)$为顶点的三角形区域的正向边界； （6）$I=\displaystyle{\oint}_{L}(y+\sin x) \mathrm{d} x+\left(\cos ^{2} y-2 x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 在第一象限与 $x$ 轴、 $y$ 轴所围区域的正向边界； （7）$I=\displaystyle{\oint}_{L}\left(2 x y+3 x \mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-y \cos y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（按逆时针方向绕行）； （8）$I=\displaystyle{\oint}_{L} \frac{1}{x} \arctan \frac{y}{x} \mathrm{~d} x+\frac{2}{y} \arctan \frac{x}{y} \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=1, x^{2}+y^{2}=4$ 与直线 $y=x, y=\sqrt{3} x$ 在第一象限所围区域的正向边界； （9）$I=\displaystyle{\int}_{L}\left(y+x \mathrm{e}^{2 y}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2} \mathrm{e}^{2 y}+1\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是从点 $(0,0)$ 到点 $(4,0)$ 的上半圆周 $y=\sqrt{4 x-x^{2}} ;$ （10）$I=\displaystyle{\int}_{L}(1-\cos y) \mathrm{d} x-x(y-\sin y) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是正弦曲线 $y=\sin x$ 从点 $(0,0)$ 到点 $(\pi, 0)$ 的一段弧； （11）$I=\displaystyle{\int}_{L}\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 是上半圆周 $y=\sqrt{2 x-x^{2}}$ 从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$的一段弧； （12）$I=\displaystyle{\int}_{L}\left(y+\frac{\mathrm{e}^{y}}{x}\right) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{y} \ln x \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 是半圆周 $x=1+\sqrt{2 y-y^{2}}$ 从点 $(1,0)$ 到点 $(2, ~ 1)$ 的一段弧； （13）$I=\displaystyle{\int}_{L}\left(1+y \mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x+\left(x+\mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是上半椭圆弧 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(y \geqslant 0)$ 从点 $(-a, 0)$到点 $(a, ~ 0)$ 的一段弧； （14）$I=\displaystyle{\int}_{L}(2 x y+3 x \sin x) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-y \mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是摆线 $x=t-\sin t, y=1-\cos t$ 从点 $(0,0)$ 到点 $(\pi, 2)$ 的一段弧； （15）$I=\displaystyle{\int}_{L}\left(\ln \frac{y}{x}-1\right) \mathrm{d} x+\left(\frac{x}{y}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是从点 $(1,1)$ 到点 $(3,3 \mathrm{e})$ 的不与 $x$ 轴和 $y$ 轴相交的任意一段弧； （16）$I=\displaystyle{\int}_{L}(\sin y-y \sin x+2) \mathrm{d} x+\left(\cos x+x \cos y+x^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是正弦曲线 $y=\sin x$ 从点 $(0,0)$ 到点 $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ 的一段弧； （17）计算曲线积分 $I=\displaystyle{\int}_{L}\left(1+x \mathrm{e}^{2 y}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2} \mathrm{e}^{2 y}-y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为上半圆周 $(x-2)^{2}+y^{2}=4$ 从点 $O(0,0)$ 到点 $A(4,0)$ ； （18）计算曲线积分 $I=\displaystyle{\int}_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-m y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y-m\right) \mathrm{d} y(m\gt 0)$ ，其中 $L$ 为 $y=\sqrt{a x-x^{2}}$ 从点 $O(0,0)$ 到点 $A(a, 0)(a\gt 0)$ ．

10．设稳定且不可压缩的流体的速度场为 $\boldsymbol{v}(x, y, z)=x^{2} \boldsymbol{i}+y^{2} \boldsymbol{j}+z^{2} \boldsymbol{k}, \displaystyle{\sum}$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+ z^{2}=a^{2}$ 的外侧位于第一卦限的部分。求流体流向 $\displaystyle{\sum}$ 指定一侧的流量 $\Phi$ 。

11．判别表达式 $\frac{(3 y-x) \mathrm{d} x+(y-3 x) \mathrm{d} y}{(x+y)^{3}}$ 是否是某个函数 $u=(x, y)$ 的全微分，若是，求此函数 $u(x, y)$ 。

12．求下列微分方程的通解． （1）$\left(4 x^{2} y-3 y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{3}-3 x y\right) \mathrm{d} y=0$ ； （2）$\left(y-x \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y=0$ ； （3）$\left(x y+\sqrt{1-x^{2} y^{2}}\right) \mathrm{d} x+x^{2} \mathrm{~d} y=0$ ．

13．求满足 $f(0)=-1, f^{\prime}(0)=1$ 的具有二阶连续导数的函数 $f(x)$ ，使 $$ f(x) y \mathrm{~d} x+\left(\frac{3}{2} \sin 2 x-f^{\prime}(x)\right) \mathrm{d} y=0 $$ 成为全微分方程，并求全微分方程的积分曲线中经过 $(\pi, 1)$ 的一条积分曲线．

14．确定函数 $\alpha(x) 、 \beta(x)$ ，使当 $$ P(x, y)=(x \alpha(x)+\beta(x)) y^{2}+3 x^{2} y, Q(x, y)=y \alpha(x)+\beta(x), $$ 其中 $\alpha(0)=-1, \beta(0)=0$ 时，曲线积分 $\int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ 与路径无关；并求出 $u(x, y)$ ，使 $\mathrm{d} u=P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ ．

15．设 $\varphi(x)$ 具有二阶连续导数，且 $\varphi(0)=\varphi^{\prime}(0)=0$ ，试求函数 $\varphi(x)$ 的表达式，使微分方程 $\varphi(x) y \mathrm{~d} x+\left(\sin x-\varphi^{\prime}(x)\right) \mathrm{d} y=0$ 为全微分方程，并求此方程的通解。

2．证明下列曲线积分在整个 $x O y$ 面内与路径无关，并计算积分值． （1） $\displaystyle{\int}_{(1,1)}^{(2,3)}(x+y) \mathrm{d} x+(x-y) \mathrm{d} y$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{(1,0)}^{(2,1)}\left(2 x y-y^{4}+3\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-4 x y^{3}\right) \mathrm{d} y$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{(0,0)}^{(\pi, \pi)}\left(\mathrm{e}^{y}+\sin x\right) \mathrm{d} x+\left(x \mathrm{e}^{y}-\cos y\right) \mathrm{d} y$ ．

3．设在 $x O y$ 面内有力 $\boldsymbol{F}(x, y)=\left(x+y^{2}\right) \boldsymbol{i}+(2 x y-1) \boldsymbol{j}$ 构成力场．证明：在此力场中，场力所做的功与路径无关。

4．验证下列 $P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ 在整个 $x O y$ 面内是某一个函数 $u(x, y)$ 的全微分，并求这样一个 $u(x, y)$ 。 （1）$(x+2 y) \mathrm{d} x+(2 x+y) \mathrm{d} y$ ； （2）$\left(2 x+\mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} x+\left(x \mathrm{e}^{y}-2 y\right) \mathrm{d} y$ ； （3）$\left(6 x y+2 y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(3 x^{2}+4 x y\right) \mathrm{d} y$ ； （4） $2 \sin 2 x \sin 3 y \mathrm{~d} x-3 \cos 2 x \cos 3 y \mathrm{~d} y$ ； （5）$\left(3 x^{2} y+x \mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{3}-y \sin y\right) \mathrm{d} y$ ； （6）$\left(3 x^{2} y^{2}+8 x y^{3}\right) \mathrm{d} x+\left(2 x^{3} y+12 x^{2} y^{2}+y \mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} y$ ．

5．证明：$\frac{x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}}$ 在 $x O y$ 面内除去 $y$ 轴的负半轴及原点 $O$ 后的区域 $G$ 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数．

6．计算 $\displaystyle{\int}_{(1,0)}^{(2, \pi)}\left(y-\mathrm{e}^{x} \cos y\right) \mathrm{d} x+\left(x+\mathrm{e}^{x} \sin y\right) \mathrm{d} y$ ．

7．利用高斯公式计算曲面积分。 （1）$\oiint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是立方体 $\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant a, 0 \leqslant z \leqslant a\}$ 的表面的外侧； （2）$\oiint_{\Sigma} 3 x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-x^{2} y^{4} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是以点 $(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0)$ ， $(0,0,1)$ 为顶点的四面体的表面的外侧； （3）$\oiint_{\Sigma} y z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x^{2} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为柱面 $x^{2}+y^{2}=9$ 与平面 $z=0, z=y-3$ 所围成的区域的边界面的外侧； （4） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是上半球面 $z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧； （5） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 x z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 y^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是抛物面 $z=4-x^{2}-y^{2}$ 被平面 $z=0$ 所截下的部分的下侧； （6） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left(y^{2}-x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(z^{2}-y\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(x^{2}-z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是上半球面 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧。

8．求 $\oiint_{\Sigma} y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为由 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 及 $z=2-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围区域 $\Omega$的边界曲面的外侧。

9．求 $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} 2\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+8 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-4 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是曲线 $x=\mathrm{e}^{y}(0 \leqslant y \leqslant a)$ 绕 $x$ 轴旋转而成的旋转曲面的外侧。

＊16．利用斯托克斯公式计算下列曲线积分。 （1）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma} x y \mathrm{~d} x+y z \mathrm{~d} y+z x \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 是以点 $(1,0,0),(0,3,0),(0,0,3)$ 为顶点的三角形的周界（从 $z$ 轴正向往下看，逆时针方向）； （2）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma} z^{2} \mathrm{~d} x+x^{2} \mathrm{~d} y+y^{2} \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 位于第一卦限那部分的边界线从 $z$ 轴正向往下看，逆时针方向； （3）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma}(y-z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为椭面 $x^{2}+y^{2}=a^{2}, \frac{x}{a}+\frac{z}{b}=1(a$ ， $b\gt 0$ ）从 $z$ 轴正向往下看，逆时针方向； （4）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为以点 $A_{1}(a, 0,0) 、 A_{2}(0, a, 0) 、 A_{3}(0,0, a)$ $(a\gt 0)$ 为端点的三段圆弧 $\overparen{A}_{1} A_{2} 、 \overparen{A}_{2} A_{3} 、 \overparen{A}_{3}$ 所组成的封闭曲线，方向依 $A_{1} \rightarrow A_{2} \rightarrow A_{3} \rightarrow A_{1}$ ； （5）$I=\displaystyle{\oint}_{\Gamma}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(3 x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为平面 $x+y+z-2=0$ 与柱面 $|x|+|y|=1$ 的交线，从 $z$ 轴正向往下看，$\Gamma$ 为逆时针方向。

＊17．求下列向量场 $\boldsymbol{A}$ 穿过曲面 $\displaystyle{\sum}$ 流向指定侧的流量． （1） $\boldsymbol{A}=x(y-z) \boldsymbol{i}+y(z-x) \boldsymbol{j}+z(x-y) \boldsymbol{k}, \quad \displaystyle{\sum}$ 为椭球面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ ，流向外侧； （2） $\boldsymbol{A}=x(y-z) \boldsymbol{i}+y(z-x) \boldsymbol{j}+z(x-y) \boldsymbol{k}, \quad \displaystyle{\sum}$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 位于第一卦限的那部分，流向凸的一侧。

＊18．求向量场 $\boldsymbol{A}=x y \boldsymbol{i}+\cos (x y) \boldsymbol{j}+\cos (x z) \boldsymbol{k}$ 的散度．

＊19．求下列向量场 $\boldsymbol{A}$ 沿定向闭曲线 $\Gamma$ 的环流量． （1） $\boldsymbol{A}=-y \boldsymbol{i}+x \boldsymbol{j}+c \boldsymbol{k}(c \in \mathbf{R}), \Gamma$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=1, z=0$ ，从 $z$ 轴正向看去，$\Gamma$ 取逆时针方向； （2） $\boldsymbol{A}=3 y \boldsymbol{i}-x z \boldsymbol{j}+y z^{2} \boldsymbol{k}, \Gamma$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=4, z=1$ ，从 $z$ 轴正向看去，$\Gamma$ 取逆时针方向。

＊20．求向量场 $\boldsymbol{A}=x^{2} \sin y \boldsymbol{i}+y^{2} \sin z \boldsymbol{j}+z^{2} \sin x \boldsymbol{k}$ 的旋度． \begin{tabular}{|l|l|} \hline 二重、三重积分 & \begin{tabular}{l} 理解二重积分、三重积分的概念 \\ 了解重积分的性质 \\ 掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标） \\ 了解三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标） \end{tabular} \\ \hline 曲线、曲面积分 & \begin{tabular}{l} 理解两类曲线积分的概念 \\ 了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系 \\ 会计算两类曲线积分 \\ 了解两类曲面积分的概念 \\ 会计算两类曲面积分 \end{tabular} \\ \hline 积分联系 & \begin{tabular}{l} 掌握格林（Green）公式 \\ 会使用平面曲线积分与路径无关的条件 \\ 了解高斯（Guass）、斯托克斯（Stokes）公式 \\ 了解散度、旋度的计算公式 \end{tabular} \\ \hline 积分应用 & 会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等） \\ \hline \end{tabular}