习题8-2

1．选择题． （1）下列级数收敛的是（）。 A．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(\cos n)^{2}}{5^{n}}$ B．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n}}{4^{n}}$ C．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n}{1000 n+1}$ D．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}}$ （2）下列级数发散的是（ ）． A．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ B．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n^{3}}\right)$ C．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ D．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sin \frac{1}{n^{2}}$ （3）交错级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} u_{n}$ 若满足 则交错级数收敛。 A．$u_{n} \geqslant u_{n+1}(n=1,2,3, \cdots)$ B． $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$ C． $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}} \leqslant 1$ D．$u_{n} \geqslant u_{n+1}(n=1,2,3, \cdots)$ 且 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$ （4）设 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 为任意项级数，那么（ ． A．如果 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}\right|$ 收敛，则 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 条件收敛 B．如果 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}\right|$ 条件收敛 C．如果 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}\right|$ 收敛，则 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛 D．如果 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 条件收敛，则 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 绝对收敛 （5）下列级数条件收敛的是 ． A．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \sin \frac{1}{n}$ B．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{2^{n}}$ C．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n}{2 n+3}$ D．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{3 n^{2}+1}$ （6）下列级数中绝对收敛的是（ ． A．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{2 n+1}}$ B．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{3}{2}\right)^{n}$ C．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n^{3}}}$ D．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n-1)}{n}$ （7）级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+a^{n}}$ 的敛散情况是（ ． A．当 $a\gt 0$ 时收敛 B．当 $a\gt 0$ 时发散 C．当 $0\lt |a| \leqslant 1$ 时发散，当 $|a|\gt 1$ 时收敛 D．当 $0\lt |a| \leqslant 1$ 时收敛，当 $|a|\gt 1$ 时发散

10．判定下列级数的玫散性． （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sqrt{n+1}\left(1-\cos \frac{\pi}{n}\right)$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(n+a)^{n}}{n^{n+a}}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\pi}{n}-\sin \frac{\pi}{n}\right)$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=3}^{\infty} \frac{1}{(\ln \ln n)^{\ln n}}$ ； （7）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}{\mathrm{e}^{n}}$ ； （8）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{\ln n}{n}\right)^{n}$ ．

11．设正项数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调减少且级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 发散，试问级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{a_{n}+1}\right)^{n}$ 是否收敛？并说明理由。

12．设 $u_{n} \neq 0(n=1,2, \cdots)$ 且 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{u_{n}}=1$ ，问级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(\frac{1}{u_{n}}+\frac{1}{u_{n+1}}\right)$ 是否收敛？

13．讨论级数 $\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \sin \left(n \pi+\frac{1}{\ln n}\right)$ 的收敛性，若收敛，问是绝对收敛，还是条件收敛？

2．用比较审敛定理判别级数的敛散性。 （1） $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots$ ； （2）$\frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 3}+\frac{1}{\ln 4}+\frac{1}{\ln 5}+\cdots$ ； （3）$\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 5}+\cdots$ ； （4）$\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}+\left(\frac{3}{7}\right)^{2}+\left(\frac{4}{9}\right)^{2}+\cdots$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1) 2^{n-1}}$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sin \frac{\pi}{2^{n}}$ ； （7）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} n\left(1-\cos \frac{1}{n^{2}}\right)$ ； （8）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{\frac{4}{3}}}$ ； （9）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\sqrt{n}}}-1\right)$ ； （10）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1+n}{1+n^{2}}$ ； （11）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1+n}{1+n^{2}}\right)^{2}$ ； （12）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ln \frac{n+1}{n-1}$ ．

3．用比值判别法判定下列级数的收敛性。 （1）$\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{3}{2 \cdot 2^{2}}+\frac{5}{3 \cdot 2^{3}}+\frac{7}{4 \cdot 2^{4}}+\cdots$ ； （2）$\frac{2}{1 \cdot 3}+\frac{2^{2}}{2 \cdot 4}+\frac{2^{3}}{3 \cdot 5}+\frac{2^{4}}{4 \cdot 6}+\cdots$ ； （3）$\frac{1!}{1}+\frac{2!}{2^{2}}+\frac{3!}{2^{3}}+\frac{4!}{2^{4}}+\cdots$ ； （4） $\sin \frac{1}{2}+2 \sin \frac{1}{2^{2}}+3 \sin \frac{1}{2^{3}}+4 \sin \frac{1}{2^{4}}+\cdots$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{n \cdot 2^{n}}$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} n \tan \frac{\pi}{2^{n+1}}$ ； （7）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n-1)!!}{3^{n} \cdot n!}$ ； （8）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} 2^{n-1} \tan \frac{\pi}{2 n}$ ．

4．用根值判别法判定下列级数的收敛性． （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^{n}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{[\ln (n+1)]^{n}}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{3 n+1}\right)^{2 n}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{2^{n}}{\sqrt{n^{n}}}$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}}{3^{n}}$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{b}{a_{n}}\right)^{n}, a_{n} \rightarrow a(n \rightarrow \infty), a_{n}, b, a \in \mathbf{R}^{+}$．

5．判定下列级数的玫散性． （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(3 n+2)\left(n^{2}+1\right)}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3 n+1}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n(n+2)}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sqrt{\frac{n+1}{n}}$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{5^{n}}$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \ln \frac{n^{2}-1}{n^{2}}$ ； （7）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\sin ^{2} \frac{n \pi}{2}}{2^{n}}$ ； （8）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$ ； （9）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n a+b}(a\gt 0, b\gt 0)$ ； （10）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sin ^{n}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{b}{n}\right)$ ； （11）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n!)}{n!}$ ； （12）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \mathrm{e}^{-\frac{n^{2}+1}{n+1}}$ ．

6．判定下列级数的敛散性，若级数收敛，判断是绝对收敛还是条件收敛． （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n}{3^{n}}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n-1)}{n}$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n}{10 n+1}$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{2 n^{3}+4}}$ ； （7）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{3^{n}} \sin \frac{\pi}{n}$ ； （8）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\ln n}{n}$ ； （9）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$ ； （10）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(1-\cos \frac{\pi}{n^{2}}\right)$ ．

7．设 $a_{n} \leqslant c_{n} \leqslant b_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，且 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 及 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 均收敛，证明级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 收敛．

8．如果 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 及 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} b_{n}^{2}$ 都收敛，证明：$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left|a_{n} b_{n}\right|$ 收敛。

9．设 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \frac{1}{a_{n}}}{\ln n}=q\left(a_{n}\gt 0\right)$ ，证明级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 当 $q\gt 1$ 时收敛，当 $q\lt 1$ 时发散．