习题8-4

1．下列周期函数 $f(x)$ 的周期为 $2 \pi$ ，试将 $f(x)$ 展开为傅里叶级数． （1）$f(x)=3 x^{2}+1(-\pi \leqslant x\lt \pi)$ ； （2）$f(x)=\mathrm{e}^{2 x}(-\pi \leqslant x\lt \pi)$ ； （3）$f(x)=2 \sin \frac{x}{3}(-\pi \leqslant x\lt \pi)$ ； （4）$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{e}^{x}, & -\pi \leqslant x\lt 0, \\ 1, & 0 \leqslant x \leqslant \pi .\end{array}\right.$

2．将下列周期函数（已给出函数在一个周期内的表达式）展开成傅里叶级数。 （1）$f(x)=1-x^{2} \quad\left(-\frac{1}{2} \leqslant x\lt \frac{1}{2}\right)$ ； （2）$f(x)= \begin{cases}2 x+1, & -3 \leqslant x\lt 0, \\ 1, & 0 \leqslant x\lt 3 ;\end{cases}$ （3）$f(x)=x \cos x \quad\left(-\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ ； （4）$f(x)= \begin{cases}\cos \frac{\pi x}{l}, & |x| \leqslant \frac{l}{2}, \\ 0, & \frac{l}{2}\lt |x| \leqslant l\end{cases}$

3．将函数 $f(x)=\sin ^{4} x$ 展开成傅里叶级数。

4．将 $f(x)=\pi^{2}-x^{2}(-\pi \leqslant x \leqslant \pi)$ 展开成傅里叶级数。

5．将 $f(x)=x^{2}$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 上展开成傅里叶级数，并求 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}, \displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}}$ ．

6．将函数 $f(x)=|\sin x|$ 在数轴上展开成傅里叶级数。

7．设在区间 $[-\pi, \pi]$ 上 $f(x)$ 为可积的偶函数，且 $f\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$ ，证明在 $f(x)$ 的展开式中系数 $a_{2 n}=0$ ．

8．怎样才能将在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内可积的函数 $f(x)$ 延拓到 $[-\pi, \pi)$ ，使其傅里叶展开式为 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} A_{n} \sin (2 n-1) x$ ？

9．已知 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的函数，$a_{n} 、 b_{n}$ 为其傅里叶系数，试将 $F(x)=\frac{1}{\pi} \displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} f(t) f(x+t) \mathrm{d} t$ 展开成傅里叶级数。 <img src="/static/img/textbook/326dd27c4102.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">