习题11-3

1．计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性： （1）$\displaystyle{\oint}_{L}\left(2 x y-x^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x+y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是由抛物线 $y=x^{2}$ 和 $y^{2}=x$ 所围成的区域的正向边界曲线； （2）$\displaystyle{\oint}_{L}\left(x^{2}-x y^{3}\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}-2 x y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是四个顶点分别为 $(0,0),(2,0),(2,2)$ 和 $(0,2)$ 的正方形区域的正向边界．

10．设有一变力在坐标轴上的投影为 $X=x^{2}+y^{2}, Y=2 x y-8$ ，这变力确定了一个力场．证明质点在此场内移动时，场力所做的功与路径无关．

12．确定常数 $\lambda$ ，使在右半平面 $x\gt 0$ 上的向量 $\boldsymbol{A}(x, y)=2 x y\left(x^{4}+y^{2}\right)^{\lambda} \boldsymbol{i}-x^{2}\left(x^{4}+y^{2}\right)^{\lambda} \boldsymbol{j}$ 为某二元函数 $u(x, y)$ 的梯度，并求 $u(x, y)$ ．

2．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： （1）星形线 $x=a \cos ^{3} t, y=a \sin ^{3} t$ ； （2）椭圆 $9 x^{2}+16 y^{2}=144$ ； （3）圆 $x^{2}+y^{2}=2 a x$ ．

3．计算曲线积分 $\displaystyle{\oint}_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{2\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ ，其中 $L$ 为圆周 $(x-1)^{2}+y^{2}=2, L$ 的方向为逆时针方向．

4．确定正向闭曲线 $C$ ，使曲线积分 $\displaystyle{\oint}_{C}\left(x+\frac{y^{3}}{3}\right) \mathrm{d} x+\left(y+x-\frac{2}{3} x^{3}\right) \mathrm{d} y$ 达到最大值．

5．设 $n$ 边形的 $n$ 个顶点按逆时针方向依次为 $M_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), M_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots, M_{n}\left(x_{n}, y_{n}\right)$ ．试利用曲线积分证明此 $n$ 边形的面积为 $$ A=\frac{1}{2}\left[\left(x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right)+\left(x_{2} y_{3}-x_{3} y_{2}\right)+\cdots+\left(x_{n-1} y_{n}-x_{n} y_{n-1}\right)+\left(x_{n} y_{1}-x_{1} y_{n}\right)\right] . $$

6．证明下列曲线积分在整个 $x O y$ 面内与路径无关，并计算积分值： （1） $\displaystyle{\int}_{(1,1)}^{(2,3)}(x+y) \mathrm{d} x+(x-y) \mathrm{d} y$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{(1,2)}^{(3,4)}\left(6 x y^{2}-y^{3}\right) \mathrm{d} x+\left(6 x^{2} y-3 x y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{(1,0)}^{(2,1)}\left(2 x y-y^{4}+3\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-4 x y^{3}\right) \mathrm{d} y$ ．

7．利用格林公式，计算下列曲线积分： （1）$\displaystyle{\oint}_{L}(2 x-y+4) \mathrm{d} x+(5 y+3 x-6) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是三顶点分别为 $(0,0),(3,0)$ 和 $(3,2)$ 的三角形正向边界； （2）$\displaystyle{\oint}_{L}\left(x^{2} y \cos x+2 x y \sin x-y^{2} \mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2} \sin x-2 y \mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为正向星形线 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}(a\gt 0)$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{L}\left(2 x y^{3}-y^{2} \cos x\right) \mathrm{d} x+\left(1-2 y \sin x+3 x^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为在抛物线 $2 x=\pi y^{2}$ 上由点 $(0,0)$ 到 $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ 的一段弧； （4） $\displaystyle{\int}_{L}\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x-\left(x+\sin ^{2} y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是在圆周 $y=\sqrt{2 x-x^{2}}$ 上由点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ 的一段弧．

8．设有界闭区域 $D$ 由 $x O y$ 面上的分段光滑曲线 $L$ 所围成，函数 $u=u(x, y)$ 在 $D$ 上具有连续的二 阶偏导数，$\frac{\partial u}{\partial n}$ 表示 $u(x, y)$ 沿 $L$ 的外法向量的方向导数，证明 $$ \displaystyle{\oint_{L} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s=\displaystyle{\iint}_{D}\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\right) \mathrm{d} \sigma, $$ 其中 $L$ 取正向．

9．验证下列 $P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ 在整个 $x O y$ 面内是某一函数 $u(x, y)$ 的全微分，并求这样的一个 $u(x, y)$ ： （1）$(x+2 y) \mathrm{d} x+(2 x+y) \mathrm{d} y$ ； （2） $2 x y \mathrm{~d} x+x^{2} \mathrm{~d} y$ ； （3） $4 \sin x \sin 3 y \cos x \mathrm{~d} x-3 \cos 3 y \cos 2 x \mathrm{~d} y$ ； （4）$\left(3 x^{2} y+8 x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{3}+8 x^{2} y+12 y \mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} y$ ； （5）$\left(2 x \cos y+y^{2} \cos x\right) \mathrm{d} x+\left(2 y \sin x-x^{2} \sin y\right) \mathrm{d} y$ ．

＊11．判别下列方程中哪些是全微分方程？对于全微分方程，求出它的通解． （1）$\left(3 x^{2}+6 x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(6 x^{2} y+4 y^{2}\right) \mathrm{d} y=0$ ； （2）$\left(a^{2}-2 x y-y^{2}\right) \mathrm{d} x-(x+y)^{2} \mathrm{~d} y=0$（ $a$ 为常数）； （3） $\mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} x+\left(x \mathrm{e}^{y}-2 y\right) \mathrm{d} y=0$ ； （4）$(x \cos y+\cos x) y^{\prime}-y \sin x+\sin y=0$ ； （5）$\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y=0$ ； （6）$y(x-2 y) \mathrm{d} x-x^{2} \mathrm{~d} y=0$ ； （7）$\left(1+\mathrm{e}^{2 \theta}\right) \mathrm{d} \rho+2 \rho \mathrm{e}^{2 \theta} \mathrm{~d} \theta=0$ ； （8）$\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x+x y \mathrm{~d} y=0$ ．