习题9-3

1．求下列函数的全微分： （1）$z=x y+\frac{x}{y}$ ； （2）$z=e^{\frac{y}{x}}$ ； （3）$z=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ； （4）$u=x^{y z}$ ．

2．求函数 $z=\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)$ 当 $x=1, y=2$ 时的全微分．

3．求函数 $z=\frac{y}{x}$ 当 $x=2, y=1, \Delta x=0.1, \Delta y=-0.2$ 时的全增量和全微分．

4．求函数 $z=\mathrm{e}^{x y}$ 当 $x=1, y=1, \Delta x=0.15, \Delta y=0.1$ 时的全微分．

5．考虑二元函数 $f(x, y)$ 的下面四条性质： （1）$f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续； （2）$f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续； （3）$f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 可微分； （4）$f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 存在． 若用＂$P \Rightarrow Q$＂表示可由性质 $P$ 推出性质 $Q$ ，则下列四个选项中正确的是（ ． （A）（2）⇒（3）$\Rightarrow(1)$ （B）$(3) \Rightarrow(2) \Rightarrow(1)$ （C）（3）⇒（4）$\Rightarrow(1)$ （D）$(3) \Rightarrow(1) \Rightarrow(4)$

＊10．设有直角三角形，测得其两直角边的长分别为 $(7 \pm 0.1) \mathrm{cm}$ 和 $(24 \pm 0.1) \mathrm{cm}$ ．试求利用上述两值来计算斜边长度时的绝对误差．

＊11．测得一块三角形土地的两边边长分别为 $(63 \pm 0.1) \mathrm{m}$ 和 $(78 \pm 0.1) \mathrm{m}$ ，这两边的夹角为 $60^{\circ} \pm 1^{\circ}$ ．试求这块三角形土地面积的近似值，并求其绝对误差和相对误差。

＊12．利用全微分证明：两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对误差之和．

＊13．利用全微分证明：乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和，商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和．

＊6．计算 $\sqrt{1.02^{3}+1.97^{3}}$ 的近似值．

＊7．计算 $1.97^{1.05}$ 的近似值（ $\ln 2=0.693$ ）．

＊8．已知边长为 $x=6 \mathrm{~m}$ 与 $y=8 \mathrm{~m}$ 的矩形，如果 $x$ 边增加 5 cm 而 $y$ 边减少 10 cm ，问这个矩形的对角线的近似变化怎样？

＊9．设有一无盖圆柱形容器，容器的壁与底的厚度均为 0.1 cm ，内高为 20 cm ，内半径为 4 cm ．求这个容器外壳体积的近似值．