习题9-4

1．设 $z=u^{2}+v^{2}$ ，而 $u=x+y, v=x-y$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ ．

10．设 $z=\frac{y}{f\left(x^{2}-y^{2}\right)}$ ，其中 $f(u)$ 为可导函数，验证 $\frac{1}{x} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{y} \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{z}{y^{2}}$ ．

11．设函数 $f(x, y, z)$ 满足 $f(t x, t y, t z)=t^{n} f(x, y, z)$（ $t$ 为任意实数），则称函数 $f$ 为 $n$ 次齐次函数．证明：$n$ 次齐次函数 $f$ 满足关系式 $$ x f_{x}+y f_{y}+z f_{z}=n f(x, y, z), $$ 其中函数 $f$ 具有一阶连续偏导数．

12．设 $z=f\left(x^{2}+y^{2}\right)$ ，其中 $f$ 具有二阶导数，求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ ．

2．设 $z=u^{2} \ln v$ ，而 $u=\frac{x}{y}, v=3 x-2 y$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ ．

3．设 $z=\mathrm{e}^{x-2 y}$ ，而 $x=\sin t, y=t^{3}$ ，求 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$ ．

4．设 $z=\arcsin (x-y)$ ，而 $x=3 t, y=4 t^{3}$ ，求 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$ ．

5．设 $z=\arctan (x y)$ ，而 $y=\mathrm{e}^{x}$ ，求 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ ．

6．设 $u=\frac{\mathrm{e}^{a x}(y-z)}{a^{2}+1}$ ，而 $y=a \sin x, z=\cos x$ ，求 $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$ ．

7．设 $z=\arctan \frac{x}{y}$ ，而 $x=u+v, y=u-v$ ，验证 $\frac{\partial z}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{u-v}{u^{2}+v^{2}}$ ．

8．求下列函数的一阶偏导数（其中 $f$ 具有一阶连续偏导数）： （1）$u=f\left(x^{2}-y^{2}, \mathrm{e}^{x y}\right)$ ； （2）$u=f\left(\frac{x}{y}, \frac{y}{z}\right)$ ； （3）$u=f(x, x y, x y z)$ ．

9．设 $z=x y+x F(u)$ ，而 $u=\frac{y}{x}, F(u)$ 为可导函数，证明 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=z+x y$ ．

＊13．求下列函数的 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$（其中 $f$ 具有二阶连续偏导数）： （1）$z=f(x y, y)$ ； （2）$z=f\left(x, \frac{x}{y}\right)$ ； （3）$z=f\left(x y^{2}, x^{2} y\right)$ ； （4）$z=f\left(\sin x, \cos y, \mathrm{e}^{x+y}\right)$ ．

＊14．设 $u=f(x, y)$ 的所有二阶偏导数连续，而 $$ x=\frac{s-\sqrt{3} t}{2}, \quad y=\frac{\sqrt{3} s+t}{2}, $$ 证明 $$ \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}=\left(\frac{\partial u}{\partial s}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^{2} \text { 及 } \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=\frac{\partial^{2} u}{\partial s^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} \text {. } $$