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$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}}{\sqrt{n^{3}+n}}=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{x}, & x \leqslant 0, \\ x^{2}+a, & x>0,\end{array}\right.$ 则 $F(x)=\int_{-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $x=0$ 处
（A）极限存在但不连续．
（B）连续但不可导．
（C）可导．
（D）是否可导与 $a$ 的取值有关．
设 $g(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，其中函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}\left(x^{2}-1\right), 0 \leqslant x<1, \\ \frac{1}{3}(x+1), 1 \leqslant x \leqslant 2,\end{array}\right.$ 则 $g(x)$ 在区间 $(0,2)$ 内
（A）单调增加．
（B）有跳跃间断点 $x=1$ ．
（C）有可去间断点 $x=1$ ．
（D）连续．
$\stackrel{\text { si }}{\text { 错荅 }}$
还可以
筆估 $]$ 还可以 $]$ 有点难 $[$ 不会
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n+1}+\frac{n}{n+2}+\cdots+\frac{n}{n+n}\right) \sin \frac{\pi}{n}=$ $\_\_\_\_$ ．
下列关于反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{a}\right)} \mathrm{d} x$ 的结论正确的是
（A）对任意的实数 $\alpha$ ，该反常积分都发散．
（B）对任意的实数 $\alpha$ ，该反常积分都收敛．
（C）当且仅当 $\alpha=0$ 时，该反常积分收敛．
（D）当且仅当 $\alpha \neq 0$ 时，该反常积分收敛．
设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续可导，且广义积分 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x, \int_{1}^{+\infty} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 均收敛，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=$
（A） 1 ．
（B） 0 ．
（C）$+\infty$ ．
（D）-1 ．
下列结论中正确的是
（A） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 与 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 都收敛。
（B） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 与 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 都发散．
（C） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 收敛， $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 发散．
（D） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 发散， $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 收敛。
关于 $\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{|x|} \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ，下列结论正确的是
（A）取值为零．
（B）取正值．
（C）发散．
（D）取负值．
已知函数 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \lim _{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y)-2 x \Delta x+2 y \Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=0$ ， $\Delta y \rightarrow 0$
且 $f(0,0)=2$ ．则 $f(x, y)$ 在圆域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上的最大值和最小值分别为
（A）$-1,0$ ．
（B） 0,1 ．
（C） 3,2 ．
（D） 3,1 ．
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{0}^{x} \sqrt{t} \cos t \mathrm{~d} t}{x}=$
$\_\_\_\_$ ．
（1）证明：当 $x>0$ 时，$\displaystyle \frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$ ．
（2）设 $\displaystyle x_{n}=\left(1+\frac{n^{2}-n+1}{n^{3}}\right)\left(1+\frac{n^{2}-n+3}{n^{3}}\right) \cdots\left(1+\frac{n^{2}+n-1}{n^{3}}\right)$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(0) \neq 0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{x^{a}-\sin x}=\beta \neq 0$ ，求 $\alpha$ 与 $\beta$ ．
（1）证明：对 $\displaystyle x>0, x-\frac{1}{3} x^{3}<\arctan x<x$ ．
（2）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \arctan \frac{n}{n^{2}+k^{2}}$ ．
已知曲线 $y=f(x)$ 和 $\int_{a}^{y+x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t=2 y-\sin x$ 在原点处相切，试求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\ln (1+x)}{x^{1+a}}\right]^{\frac{1}{(x(x)}}$ ．
设 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上单调减少的连续函数，且 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=1$ ．记 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数．
（1）设 $k$ 为整数，求 $\int_{k-1}^{k}(x-[x]) \mathrm{d} x$ ．
（2）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1}(n x-[n x]) f(x) \mathrm{d} x$ ．
设 $G^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}}$ ，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} G(x)=0$ ，求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{0}^{x} t^{2} G(t) \mathrm{d} t$ ．
$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \arctan n \sqrt{x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上可导，$f(1)=0$ ，且满足
x(x+1) f^{\prime}(x)-(x+1) f(x)+\int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x-1
则 $\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x-3 f(2)+\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\int_{1}^{x} \frac{\sin (t-1)^{2}}{t-1} \mathrm{~d} t}{f(x)}=$ $\_\_\_\_$ ．
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x\right)^{\ln n}=$ $\_\_\_\_$ ．$ 评佔$
已知曲线 $y=f(x)$ 与 $y=\sin 2 x$ 在原点处相切，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{x}^{0}\left[\int_{0}^{t} f(t-u) \mathrm{d} u\right] \mathrm{d} t}{\sin ^{3} x}=$ $\_\_\_\_$ ．
定积分的定义（分割、近似、求和、取极限）
第 11 题
第11题
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}}{\sqrt{n^{3}+n}}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 120 题
第120题
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{x}, & x \leqslant 0, \\ x^{2}+a, & x>0,\end{array}\right.$ 则 $F(x)=\int_{-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $x=0$ 处
（A）极限存在但不连续．
（B）连续但不可导．
（C）可导．
（D）是否可导与 $a$ 的取值有关．
第 121 题
第121题
设 $g(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，其中函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}\left(x^{2}-1\right), 0 \leqslant x<1, \\ \frac{1}{3}(x+1), 1 \leqslant x \leqslant 2,\end{array}\right.$ 则 $g(x)$ 在区间 $(0,2)$ 内
（A）单调增加．
（B）有跳跃间断点 $x=1$ ．
（C）有可去间断点 $x=1$ ．
（D）连续．
$\stackrel{\text { si }}{\text { 错荅 }}$
还可以
筆估 $]$ 还可以 $]$ 有点难 $[$ 不会
第 13 题
第13题
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n+1}+\frac{n}{n+2}+\cdots+\frac{n}{n+n}\right) \sin \frac{\pi}{n}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 130 题
第130题
下列关于反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{a}\right)} \mathrm{d} x$ 的结论正确的是
（A）对任意的实数 $\alpha$ ，该反常积分都发散．
（B）对任意的实数 $\alpha$ ，该反常积分都收敛．
（C）当且仅当 $\alpha=0$ 时，该反常积分收敛．
（D）当且仅当 $\alpha \neq 0$ 时，该反常积分收敛．
第 131 题
第131题
设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续可导，且广义积分 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x, \int_{1}^{+\infty} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 均收敛，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=$
（A） 1 ．
（B） 0 ．
（C）$+\infty$ ．
（D）-1 ．
第 132 题
第132题
下列结论中正确的是
（A） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 与 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 都收敛。
（B） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 与 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 都发散．
（C） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 收敛， $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 发散．
（D） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 发散， $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 收敛。
第 134 题
第134题
关于 $\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{|x|} \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ，下列结论正确的是
（A）取值为零．
（B）取正值．
（C）发散．
（D）取负值．
第 146 题
第146题
已知函数 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \lim _{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y)-2 x \Delta x+2 y \Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=0$ ， $\Delta y \rightarrow 0$
且 $f(0,0)=2$ ．则 $f(x, y)$ 在圆域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上的最大值和最小值分别为
（A）$-1,0$ ．
（B） 0,1 ．
（C） 3,2 ．
（D） 3,1 ．
第 16 题
第16题
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{0}^{x} \sqrt{t} \cos t \mathrm{~d} t}{x}=$
$\_\_\_\_$ ．
第 171 题
第171题
（1）证明：当 $x>0$ 时，$\displaystyle \frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$ ．
（2）设 $\displaystyle x_{n}=\left(1+\frac{n^{2}-n+1}{n^{3}}\right)\left(1+\frac{n^{2}-n+3}{n^{3}}\right) \cdots\left(1+\frac{n^{2}+n-1}{n^{3}}\right)$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
第 178 题
第178题
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(0) \neq 0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{x^{a}-\sin x}=\beta \neq 0$ ，求 $\alpha$ 与 $\beta$ ．
第 183 题
第183题
（1）证明：对 $\displaystyle x>0, x-\frac{1}{3} x^{3}<\arctan x<x$ ．
（2）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \arctan \frac{n}{n^{2}+k^{2}}$ ．
第 186 题
第186题
已知曲线 $y=f(x)$ 和 $\int_{a}^{y+x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t=2 y-\sin x$ 在原点处相切，试求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\ln (1+x)}{x^{1+a}}\right]^{\frac{1}{(x(x)}}$ ．
第 197 题
第197题
设 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上单调减少的连续函数，且 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=1$ ．记 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数．
（1）设 $k$ 为整数，求 $\int_{k-1}^{k}(x-[x]) \mathrm{d} x$ ．
（2）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1}(n x-[n x]) f(x) \mathrm{d} x$ ．
第 201 题
第201题
设 $G^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}}$ ，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} G(x)=0$ ，求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{0}^{x} t^{2} G(t) \mathrm{d} t$ ．
第 31 题
第31题
$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \arctan n \sqrt{x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
第 34 题
第34题
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上可导，$f(1)=0$ ，且满足
x(x+1) f^{\prime}(x)-(x+1) f(x)+\int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x-1
则 $\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x-3 f(2)+\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\int_{1}^{x} \frac{\sin (t-1)^{2}}{t-1} \mathrm{~d} t}{f(x)}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 36 题
第36题
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x\right)^{\ln n}=$ $\_\_\_\_$ ．$ 评佔$
第 38 题
第38题
已知曲线 $y=f(x)$ 与 $y=\sin 2 x$ 在原点处相切，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{x}^{0}\left[\int_{0}^{t} f(t-u) \mathrm{d} u\right] \mathrm{d} t}{\sin ^{3} x}=$ $\_\_\_\_$ ．