概率论与数理统计

共 73 道题目

256 📝 有解析

第256题

10 个同规格的零件中混人 3 个次品，现进行逐个检查，则查完 5 个零件时正好查出 3个次品的概率为 $\_\_\_\_$。

257 📝 有解析

第257题

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 的概率分布分别为 | $X$ | 0 | 1 |
| :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\displaystyle \frac{1}{3}$ | $\displaystyle \frac{2}{3}$ | | $Y$ | -1 | 0 | 1 |
| :--- | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\displaystyle \frac{1}{3}$ | $\displaystyle \frac{1}{3}$ | $\displaystyle \frac{1}{3}$ |, 且 $P\left\{X^{2}=Y^{2}\right\}=1$, 则 $P\{X+Y=0\}=$ $\_\_\_\_$ ．

258 📝 有解析

第258题

设 $A 、 B$ 两事件相互独立，且 $\displaystyle P(A)=P(B)=\frac{1}{2}$ ，又设 C=(A \cup B)(\bar{A} \cup B)(A \cup \bar{B}), 则 $P(\bar{C})=$ $\_\_\_\_$ ．

259 📝 有解析

第259题

在区间 $(0,1)$ 中随机地取出两个数，则＂两数之积小于 $\displaystyle \frac{1}{2}$＂的概率为 $\_\_\_\_$ ．

260 📝 有解析

第260题

设随机变量 $X$ 的概率分布 $\displaystyle P\{X=k\}=\frac{a}{k(k+1)}, k=1,2, \cdots$ ，其中 $a$ 为常数．$X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，已知 $\displaystyle F(b)=\frac{3}{4}$ ，则 $b$ 的取值范围应为 $\_\_\_\_$ ．

261 📝 有解析

第261题

设 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{lc}1, & 0 \leqslant y \leqslant x \leqslant 2-y, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$则 $X$ 的边缘概率密度为 $\_\_\_\_$。

262 📝 有解析

第262题

设 $X$ 是服从参数为 2 的指数分布的随机变量，则随机变量 $\displaystyle Y=X-\frac{1}{2}$ 的概率密度函数 $f_{Y}(y)=$ $\_\_\_\_$。

263 📝 有解析

第263题

设随机变量 $X$ 服从参数为 2 的指数分布，$a$ 为大于 2 的常数，已知 $P\{X \leqslant a \mid X>2\}= 1-\mathrm{e}^{-2}$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$。

264 📝 有解析

第264题

设 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}1, & 0 \leqslant y \leqslant x \leqslant 2-y, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$
则随机变量 $Z=X-Y$ 的概率密度 $f_{Z}(z)$ 应为 $\_\_\_\_$。

265 📝 有解析

第265题

已知随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的指数分布，且随机变量
$Y=\left\{\begin{array}{cc}X, & |X| \leqslant 1, \\ -X, & |X|>1,\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle P\left\{Y \leqslant \frac{1}{2}\right\}=$ $\_\_\_\_$ ．

266 📝 有解析

第266题

设随机变量 $X \sim N(0,1)$ ，在 $X=x$ 条件下，随机变量 $Y \sim N(x, 1)$ ，则 $Y$ 的方差 $D Y=$

267 📝 有解析

第267题

假设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，$Y=|X|$ ，则 $(X, Y)$ 的联合分布函数 $F(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ．

268 📝 有解析

第268题

已知随机变量 $X$ 与 $Y$ 都服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ ，如果 $P\{\max (X, Y)>\mu\}= a(0

269 📝 有解析

第269题

将 2 双不同的鞋随意分成 2 堆，每堆 2 只，以 $X$ 表示 2 堆中恰好配成一双鞋的堆数，则 $E X=$ $\_\_\_\_$。

270 📝 有解析

第270题

假设随机变量 $X$ 在 $[-1,1]$ 上服从均匀分布，$a$ 是区间 $[-1,1]$ 上的一个定点，$Y$ 为点 $X$ 到 $a$ 的距离，当 $a=$ $\_\_\_\_$时，随机变量 $X$ 与 $Y$ 不相关．

271 📝 有解析

第271题

已知随机变量 $X$ 在 $(1,2)$ 上服从均匀分布，在 $X=x(1| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | 管甄域 | | －组䊗 | | | | |

272 📝 有解析

第272题

设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从的分布及参数为 $\displaystyle N\left(0,0 ; 1,1 ; \frac{1}{2}\right)$ ，则二维随机变量 $(X+Y, X-Y)$ 服从的分布及参数为 $\_\_\_\_$ ．

273 📝 有解析

第273题

设随机变量 $X \sim B(n, p)$ ，且 $E(X)=3.2, D(X)=0.64$ ，则 $P\{X \neq 0\}=$ $\_\_\_\_$ ．

274 📝 有解析

第274题

设随机变量列 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, \cdots$ 相互独立且同分布，则 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, \cdots$ 服从辛钦大数定律，只要随机变量 $X_{i}(i=1,2, \cdots, n, \cdots)$ $\_\_\_\_$ ．

275 📝 有解析

第275题

设 $X$ 与 $Y$ 都服从正态分布 $N\left(0, \sigma^{2}\right)$ ，已知 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 与 $Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n}$ 为分别来自总体 $X$ 与 $Y$ 的两个相互独立的简单随机样本，它们的样本均值与样本方差分别为 $\bar{X}, \bar{Y}$ 和 $S_{X}^{2}, S_{Y}^{2}$ ，则统计量 $\displaystyle F=\frac{n(\bar{X}-\bar{Y})^{2}}{S_{X}^{2}+S_{Y}^{2}}$ 服从的分布和参数为 $\_\_\_\_$。

276 📝 有解析

第276题

已知 $(X, Y)$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1}{12 \pi} \mathrm{e}^{-\frac{1}{72}\left(9 x^{2}+4 y^{2}-8 y+4\right)}$ ，则 $\displaystyle \frac{9 X^{2}}{4(Y-1)^{2}}$ 服从的分布及参数为 $\_\_\_\_$ ． X1或

277 📝 有解析

第277题

设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，记样本方差为 $S^{2}$ ，则 $D\left(S^{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

278 📝 有解析

第278题

假设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{16}$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 为样本均值，$S^{2}$ 为样本方差，如果 $P\{\bar{X}>\mu+a S\}=0.95$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．$\left(t_{0.05}(15)=1.7531\right)$ ．

279 📝 有解析

第279题

设 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 为来自总体 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的样本值，其平均值 $\bar{x}=9.0$ ，参数 $\mu$ 的置信度为 0.90 的双侧置信区间的置信下限为 7.8 ，则 $\mu$ 的置信度为 0.90 的双侧置信上限为 $\_\_\_\_$。

280 📝 有解析

第280题

设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，其中 $\mu$ 为已知，$\sigma^{2}$ 未知，记 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}, Q^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}$ ，对假设 $H_{0}: \sigma^{2}=\sigma_{0}^{2}$ ，采用 $\chi^{2}$ 检测，统计量为 $\_\_\_\_$。 ## 选择题

281 📝 有解析

第281题

设 $A, B$ 为两个随机事件，且 $0（A）$P(\bar{A} \mid \bar{B})=1$ ．
（B）$P(B \mid A)=1$ ．
（C）$P(\bar{B} \mid \bar{A})=1$ ．
（D）$P(B \mid \bar{A})=1$ ．

282 📝 有解析

第282题

袋中装有 $2 n-1$ 个白球， $2 n$ 个黑球，一次取出 $n$ 个球，发现都是同一种颜色，则这种颜色是黑色的概率为
（A）$\displaystyle \frac{n}{4 n-1}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{n}{3 n-1}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{2}{3}$ ．

283 📝 有解析

第283题

连续抛掷一枚硬币，在第 $n$ 次抛掷时，出现第 $k$ 次 $(k \leqslant n)$ 正面向上的概率为
（A） $\displaystyle \mathrm{C}_{n}^{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ ．
（B） $\displaystyle \mathrm{C}_{n}^{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ ．
（C） $\displaystyle \mathrm{C}_{n-1}^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ ．
（D） $\displaystyle \mathrm{C}_{n-1}^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ ．

284 📝 有解析

第284题

盒子中有 $A$ 和 $B$ 两类电子产品各一半，$A$ 类产品的寿命服从指数分布 $E(1), B$ 类产品的寿命服从指数分布 $E(2)$ 。随机地从盒子中取一个电子产品，以 $X$ 表示所取产品的寿命，则 $X$ 的概率密度 $f(x)$ 为
（A）$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{-2 x}, & x>0, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$
（B）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-x}+\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-2 x}, & x>0, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$
（C）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{-2 x}, & x>0, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$
（D）$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{e}^{-x}+2 \mathrm{e}^{-2 x}, & x>0, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$

285 📝 有解析

第285题

设随机变量 $X_{i}$ 的分布函数为 $F_{i}(x)$ ，概率密度函数为 $f_{i}(x)(i=1,2)$ ．对任意常数 $a(0（A）$F_{2}(x)+a\left[F_{2}(x)-F_{1}(x)\right]$ 是分布函数．
（B）$a F_{1}(x) F_{2}(x)$ 是分布函数．
（C）$f_{2}(x)+a\left[f_{1}(x)-f_{2}(x)\right]$ 是概率密度函数．
（D）$f_{1}(x) f_{2}(x)$ 是概率密度函数．

286 📝 有解析

第286题

已知随机变量 $X_{1}$ 与 $X_{2}$ 具有相同的分布函数 $F(x)$ ，设 $X=X_{1}+X_{2}$ 的分布函数为 $G(x)$ ，则有
（A）$G(2 x)=2 F(x)$ ．
（B）$G(2 x)=F(x) \cdot F(x)$ ．
（C）$G(2 x) \leqslant 2 F(x)$ ．
（D）$G(2 x) \geqslant 2 F(x)$ ．

287 📝 有解析

第287题

设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(1, \sigma^{2}\right)$ ，其分布函数为 $F(x)$ ，则对任意实数 $x$ ，有
（A）$F(x)+F(-x)=1$ ．
（B）$F(1+x)+F(1-x)=1$ ．
（C）$F(x+1)+F(x-1)=1$ ．
（D）$F(1-x)+F(x-1)=1$ ．设随机变量 $X$ 的密度函数为 f(x)=\left\{\begin{array}{cl}
A \mathrm{e}^{-x}, & x>\lambda, \\
0, & x \leqslant \lambda
$\end{array}(\lambda>0) .\right.$ 则概率 $P\{\lambda0)$ 的值

289 📝 有解析

第289题

设随机变量 $X \sim N(0,1)$ ，其分布函数为 $\Phi(x)$ ，则随机变量 $Y=\min \{X, 0\}$ 的分布函数 $F(y)$ 为
（A）$F(y)=\left\{\begin{array}{cc}1, & y>0, \\ \Phi(y), & y \leqslant 0 .\end{array}\right.$
（B）$F(y)=\left\{\begin{array}{cc}1, & y \geqslant 0, \\ \Phi(y), & y<0 .\end{array}\right.$
（C）$F(y)=\left\{\begin{array}{cc}0, & y \leqslant 0, \\ \Phi(y), & y>0 .\end{array}\right.$
（D）$F(y)=\left\{\begin{array}{cc}0, & y<0, \\ \Phi(y), & y \geqslant 0 .\end{array}\right.$

290 📝 有解析

第290题

设连续型随机变量 $X$ 的分布函数 F(x)=\left\{\begin{array}{cc}
A+B \mathrm{e}^{-\lambda x}, & x>0, \\
0, & x \leqslant 0
$\end{array} \quad(\lambda>0),\right.$ 则 $P\{-1 \leqslant X<1\}=$
（A） $\mathrm{e}^{\lambda}-\mathrm{e}^{-\lambda}$ ．
（B） $1-\mathrm{e}^{-\lambda}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{1}{2}\left(1+\mathrm{e}^{-\lambda}\right)$ ．
（D）$\displaystyle \frac{1}{2}\left(1+\mathrm{e}^{\lambda}\right)$ ．

291 📝 有解析

第291题

设随机变量 $X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}$ 均服从分布 $\displaystyle B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ ，则
（A）$X_{1}+X_{2}$ 与 $X_{3}+X_{4}$ 同分布．
（B）$X_{1}-X_{2}$ 与 $X_{3}-X_{4}$ 同分布．
（C）$\left(X_{1}, X_{2}\right)$ 与 $\left(X_{3}, X_{4}\right)$ 同分布．
（D）$X_{1}, X_{2}^{2}, X_{3}^{3}, X_{4}^{4}$ 同分布．

292 📝 有解析

第292题

设相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ 均服从 $P(1)$ 分布，则 $P\{X=1 \mid X+Y=2\}$ 的值为
（A）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{1}{6}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{1}{8}$ ．

293 📝 有解析

第293题

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立同分布，已知 P\{X=k\}=p(1-p)^{k-1}, k=1,2, \cdots, 0<p<1, 则 $P\{X>Y\}$ 的值为
（A）$\displaystyle \frac{p}{2-p}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{1-p}{2-p}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{p}{1-p}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{2 p}{1-p}$ ．

294 📝 有解析

第294题

设随机事件 $X$ 的概率密度为 $f_{X}(x), Y=-2 X-1$ ，则 $Y$ 的概率密度 $f_{Y}(y)=$
（A）$\displaystyle f_{X}\left(-\frac{y+1}{2}\right)$ ．
（B）$\displaystyle f_{X}\left(\frac{y-1}{2}\right)$ ．
（C）$\displaystyle \frac{1}{2} f_{X}\left(-\frac{y+1}{2}\right)$ ．
（D）$\displaystyle \frac{1}{2} f_{X}\left(\frac{y-1}{2}\right)$ ．

295 📝 有解析

第295题

现有 10 张奖券，其中 8 张 2 元， 2 张 5 元，今从中一次取三张，则得奖金 $X$ 的数学期望 $E X$ 为
（A） 6 ．
（B） 7.8 ．
（C） 8.4 ．
（D） 9 ．

296 📝 有解析

第296题

设随机变量 $\displaystyle X \sim B\left(1, \frac{1}{2}\right), Y \sim B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ ．已知 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho=1$ ，则 $P\{X=0, Y=1\}$ 的值必为
（A） 0 ．
（B）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
（D） 1 ．

297 📝 有解析

第297题

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 的方差均为正，则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho=1$ 的充要条件为
（A）$Y=X+b$（其中 $b$ 为任意常数）．
（B）$D X=D Y=\operatorname{Cov}(X, Y)$ ．
（C）$D X=D Y=\sqrt{\operatorname{Cov}(X, Y)}$ ．
（D）$D(X+Y)=(\sqrt{D X}+\sqrt{D Y})^{2}$ ．

298 📝 有解析

第298题

已知 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，$E X:=E Y=\mu, D X=D Y=\sigma^{2}, X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho \neq 0$ ，则 $X$ 与 $Y$
（A）独立且有相同的分布．
（B）独立且有不同的分布．
（C）不独立且有相同的分布．
（D）不独立且有不同的分布．

299 📝 有解析

第299题

设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x, & 0（A）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
（D） 1 ．

300 📝 有解析

第300题

已知随机变量 $X_{n}(n=1,2, \cdots)$ 相互独立且都在 $(-1,1)$ 上服从均匀分布，根据独立同分布中心极限定理有 $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\sum_{i=1}^{n} X_{i} \leqslant \sqrt{n}\right\}$ 等于（结果用标准正态分布函数 $\Phi(x)$ 表示）
（A）$\Phi(0)$ ．
（B）$\Phi(1)$ ．
（C）$\Phi(\sqrt{3})$ ．
（D）$\Phi(2)$ ．

301 📝 有解析

第301题

设 $X_{1}, \cdots, X_{n}$ 是取自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，其均值和方差分别为 $\bar{X}$ ， $S^{2}$ ，则可以作出服从自由度为 $n$ 的 $\chi^{2}$ 分布的统计量为
（A）$\displaystyle \frac{\bar{X}^{2}}{\sigma^{2}}+\frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{n \bar{X}^{2}}{\sigma^{2}}+\frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{(\bar{X}-\mu)^{2}}{\sigma^{2}}+\frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{n(\bar{X}-\mu)^{2}}{\sigma^{2}}+\frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}}$ ．

302 📝 有解析

第302题

设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是取自正态总体 $N\left(0, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 是样本均值，记 S_{1}^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}, S_{2}^{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}, S_{3}^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}, S_{4}^{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}, 则可以作出服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布统计量为
（A）$\displaystyle t=\frac{\bar{X}}{S_{1} / \sqrt{n-1}}$ ．
（B）$\displaystyle t=\frac{\bar{X}}{S_{2} / \sqrt{n-1}}$ ．
（C）$\displaystyle t=\frac{\bar{X}}{S_{3} / \sqrt{n}}$ ．
（D）$\displaystyle t=\frac{\bar{X}}{S_{4} / \sqrt{n}}$ ．

303 📝 有解析

第303题

设总体 $X$ 与 $Y$ 都服从正态分布 $N\left(0, \sigma^{2}\right), X_{1}, \cdots, X_{n}$ 与 $Y_{1}, \cdots, Y_{n}$ 分别来自总体 $X$ 和 $Y$ 容量都为 $n$ 的两个相互独立的简单随机样本，样本均值和方差分别为 $\bar{X}, S_{X}^{2} ; \bar{Y}, S_{Y}^{2}$ ，则
（A） $\bar{X}-\bar{Y} \sim N\left(0, \sigma^{2}\right)$ ．
（B）$S_{X}^{2}+S_{Y}^{2} \sim \chi^{2}(2 n-2)$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{S_{X}^{2}+S_{Y}^{2}}} \sim t(2 n-2)$ ．
（D）$\displaystyle \frac{S_{X}^{2}}{S_{Y}^{2}} \sim F(n-1, n-1)$ ．

304 📝 有解析

第304题

已知总体 $X$ 的期望 $E X=0$ ，方差 $D X=\sigma^{2} . X_{1}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，其均值为 $\bar{X}$ ，则可以作出 $\sigma^{2}$ 的无偏估计量为
（A）$\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}$ ．

305 📝 有解析

第305题

设 $X \sim N\left(3,4^{2}\right)$ ，从总体 $X$ 抽取样本 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{16}$ ，样本均值为 $\bar{X}$ ，则
（A） $\bar{X}-3 \sim N(0,1)$ ．
（B） $4(\bar{X}-3) \sim N(0,1)$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\bar{X}-3}{4} \sim N(0,1)$ ．
（D）$\displaystyle \frac{\bar{X}-3}{16} \sim N(0,1)$ ．

306 📝 有解析

第306题

设 $X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}$ 为来自总体 $N\left(1, \sigma^{2}\right)(\sigma>0)$ 的简单随机样本，则统计量 $\displaystyle \frac{X_{1}-X_{2}}{\left|X_{3}+X_{4}-2\right|}$的分布为
（A）$N(0,1)$ ．
（B）$t(1)$ ．
（C）$\chi^{2}(1)$ ．
（D）$F(1,1)$ ．

307 📝 有解析

第307题

设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的样本，其中 $\mu$ 已知，$\sigma^{2}>0$ 为未知参数，样本均值为 $\bar{X}$ ，则 $\sigma^{2}$ 的最大似然估计量为
（A）$\displaystyle \hat{\sigma}^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}$ ．
（B）$\displaystyle \hat{\sigma}^{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}$ ．
（C）$\displaystyle \hat{\sigma}^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}$ ．
（D）$\displaystyle \hat{\sigma}^{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}$ ．区1或

308 📝 有解析

第308题

设 $\hat{\theta}$ 为末知参数 $\theta$ 的无偏、一致估计，且 $D \hat{\theta}>0$ ，则 $\hat{\theta}^{2}$ 是 $\theta^{2}$ 的
（A）无偏，一致估计．
（B）无偏，非一致估计．
（C）非无偏，一致估计．
（D）非无偏，非一致估计．

309 📝 有解析

第309题

设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自 $X \sim P(\lambda)$ 的简单随机样本，则可以构造参数 $\lambda^{2}$ 的无偏估计量为
（A）$\displaystyle T=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}\left(X_{i}-1\right)$ ．
（B）$\displaystyle T=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}$ ．
（C）$\displaystyle T=\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)^{2}$ ．
（D）$\displaystyle T=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} X_{j}\right)^{2}$ ．

310 📝 有解析

第310题

设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的样本，其中 $\mu$ 和 $\sigma^{2}$ 均未知，记 $\bar{X}$ 和 $S^{2}$分别为样本均值和方差，当 $H_{0}: \mu=\mu_{0}$ 成立时，有
（A）$\displaystyle \frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sigma} \sqrt{n} \sim N(0,1)$.
（B）$\displaystyle \frac{\bar{X}-\mu_{0}}{S} \sqrt{n} \sim t(n-1)$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\bar{X}-\mu_{0}}{S} \sqrt{n} \sim t(n)$ ．
（D）$\displaystyle \frac{1}{\sigma^{2}} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu_{0}\right)^{2} \sim \chi^{2}(n-1)$ ．

311 📝 有解析

第311题

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，$X \sim N(0,1), Y \sim U[0,1], Z=X+Y$ ，求 $Z$ 的概率密度函数 $f_{Z}(z)$ ．

312 📝 有解析

第312题

设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 f(x, y)=A \mathrm{e}^{-2 x^{2}-y^{2}},-\infty<x<+\infty,-\infty<y<+\infty . 求（1）常数 $A$ ；
（2）条件概率密度 $f_{Y \mid X}(y \mid x)$ ．

313 📝 有解析

第313题

二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f(x, y),-\infty已知 $X$ 的密度 f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{lc}
1, & 0<x<1, ~ \\
0, & \text { 其他. }
$\end{array}\right.$ 当 $0$\displaystyle \frac{1}{x}, & 00, & \text { 其他. }
$\end{array}\right.$ 求 $f(x, y),-\infty

314 📝 有解析

第314题

设二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
$\displaystyle \frac{k}{2} x \mathrm{e}^{-(x+y)}, & x>0, y>0, ~ \\$
0, & \text { 其他. }
$\end{array}\right.$ （1）求常数 $k$ ；
（2）求 $(X, Y)$ 关于 $X$ 和关于 $Y$ 的边缘概率密度；
（3）判断随机变量 $X$ 和 $Y$ 是否相互独立．

315 📝 有解析

第315题

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X$ 的分布为 | $X$ | -1 | 1 |
| :--- | :--- | :--- |
| $P$ | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | $\displaystyle \frac{1}{2}$ |,$Y$ 服从 $N(0,1)$ 分布．记 $Z=X Y$ ，求 $Z$ 的分布函数 $F_{Z}(z)$ ．

316 📝 有解析

第316题

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立同分布，已知 $X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ ，求 $Z=\min (X, Y)$ 的数学期望 $E(Z)$ ．

317 📝 有解析

第317题

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X$ 的概率分布为 | $X$ | -1 | 1 |
| :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | $\displaystyle \frac{1}{2}$ |,$Y \sim P(\lambda)$ ，令 $Z=X Y$ ，求 $\operatorname{Cov}(X, Z)$ ．

318 📝 有解析

第318题

设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
$\displaystyle \frac{1}{4} \mathrm{e}^{-|x|}, & -\infty0, & \text { 其他. }
$\end{array}\right.$ 令 $Z=|X|+|Y|$ 。
（1）$X$ 与 $Y$ 是否相互独立？
（2）求 $Z$ 的概率密度；
（3）求 $Z$ 的数学期望和方差．

319 📝 有解析

第319题

设随机变量 $X_{1}, X_{2}$ 相互独立，$X_{1} \sim E(1), X_{2} \sim E(\lambda)(\lambda>0)$ 。令 $Y=\min \left\{X_{1}, X_{2}\right\}$ ， $Z=\max \left\{X_{1}, 1\right\}$ ．求：（1）$Y$ 的概率密度 $f_{Y}(y)$ ；
（2）$P\left\{\left|X_{1}\right|>2 \mid X_{1}>1\right\}$ ；
（3）$Z$ 的数学期望 $E(Z)$ ．

320 📝 有解析

第320题

设随机变量 $X$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)^{2}},-\infty（1）求 $X$ 的分布函数 $F_{X}(x)$ ；
（2）求 $Y$ 的概率密度 $f_{Y}(y)$ ；
（3）$Y$ 的期望是否存在？

321 📝 有解析

第321题

设随机变量 $(X, Y)$ 在单位圆 $D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 内服从均匀分布，试求 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$ 。

322 📝 有解析

第322题

设 $X \sim N(0,1)$ ，试证：$E\left(X^{k}\right)=\left\{\begin{array}{cl}(k-1)(k-3) \cdots 1, & k \text { 为正偶数，} \\ 0, & k \text { 为正奇数．}\end{array}\right.$

323 📝 有解析

第323题

设 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ ，试证：
（1）$\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}+n(\bar{X}-\mu)^{2} ;$
（2）$\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}-n \bar{X}^{2}$ ．

324 📝 有解析

第324题

设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right), X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的样本，记 $\displaystyle Y=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left|X_{i}-\mu\right|$ ，试证：（1）$\displaystyle E(Y)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \sigma$ ；
（2）$\displaystyle D(Y)=\left(1-\frac{2}{\pi}\right) \frac{\sigma^{2}}{n}$ ．

325 📝 有解析

第325题

设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{9}$ 是来自正态总体 $X$ 的简单随机样本，$\displaystyle Y_{1}=\frac{1}{6}\left(X_{1}+\cdots+X_{6}\right), Y_{2}= \frac{1}{3}\left(X_{7}+X_{8}+X_{9}\right), S^{2}=\frac{1}{2} \sum_{i=7}^{9}\left(X_{i}-Y_{2}\right)^{2}, Z=\frac{\sqrt{2}\left(Y_{1}-Y_{2}\right)}{S}$ ，求统计量 $Z$ 服从的分布及参数．区1或

326 📝 有解析

第326题

设总体 $X \sim U(a, b), X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的样本，求未知参数 $a$ 和 $b$ 的矩估计量．

327 📝 有解析

第327题

设总体 $X$ 的概率密度为 f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
$\displaystyle \frac{6 x}{\theta^{3}}(\theta-x), & 00, & \text { 其他, }
$\end{array}\right.$ $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的样本，试求
（1）$\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta} ;$（2）$\hat{\theta}$ 的方差 $D(\hat{\theta})$ ．

328 📝 有解析

第328题

设总体 $X$ 的概率密度为 f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{cc}
$\displaystyle \frac{1}{1-\theta}, & \theta \leqslant x \leqslant 1, \\$
0, & \text { 其他 },
$\end{array}\right.$ 其中 $\theta$ 为末知参数，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自该总体的简单随机样本，求 $\theta$ 的矩估计量和最大似然估计量． 10 min

329 📝 有解析

第329题

设随机变量 $X$ 在数集 $\{0,1,2, \cdots, N\}$ 上等可能分布，求 $N$ 的最大似然估计量． | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\theta^{2}$ | $2 \theta(1-\theta)$ | $\theta^{2}$ | $1-2 \theta$ |, 其中 $\displaystyle \theta\left(0<\theta<\frac{1}{2}\right)$ 是末知参数，利用总体 $X$ 的样本值 $3,1,3,0,3,1,2,3$ ，求 $\theta$ 的矩估计值和最大似然估计值．更多考研无水印笔记书籍资料，【】，回复【PDF】免费获取更多考研无水印笔记书籍资料，【】，回复【PDF】免费获取金倿時代考研数学系列
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