共 8 题
题20033中国科学技术大学真题
3．求向量组 $\displaystyle S=\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\right\}$ 的所有极大线性无关组
注意：$\displaystyle a_{i} \in R^{4 \times 1}, i=1,2,3,4,5$ 忘了具体数值了
注意：$\displaystyle a_{i} \in R^{4 \times 1}, i=1,2,3,4,5$ 忘了具体数值了
题20083中国科学院真题
1．（30 分）已知如下三阶矩阵：
$$
A=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & a \\
0 & 1 & b \\
c & d & 1
\end{array}\right)
$$
（1）求 $\displaystyle \operatorname{det}(A)$ ；（2）求 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ ；（3）证明： $\displaystyle \operatorname{rank}(A) \geq 2$ ；（4）为使 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=2$ ，求出 $\displaystyle a, b, c$ 和 $\displaystyle d$应满足的条件．
$$
A=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & a \\
0 & 1 & b \\
c & d & 1
\end{array}\right)
$$
（1）求 $\displaystyle \operatorname{det}(A)$ ；（2）求 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ ；（3）证明： $\displaystyle \operatorname{rank}(A) \geq 2$ ；（4）为使 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=2$ ，求出 $\displaystyle a, b, c$ 和 $\displaystyle d$应满足的条件．
题20171中国科学院真题
1．设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶可逆矩阵，$\displaystyle \alpha, \beta$ 是 $\displaystyle n$ 维列向量，且 $\displaystyle 1+\beta^{\prime} A^{-1} \alpha \neq 0$ ．证明：$\displaystyle A+\alpha \beta^{\prime}$ 可逆，并求其逆。
证明 构造 $\displaystyle n+1$ 阶矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}1 & -\beta^{\prime} \\ 0 & A+\alpha \beta^{\prime}\end{array}\right)$ ，对分块矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc:cc}1 & -\beta^{\prime} & 1 & 0 \\ 0 & A+\alpha \beta^{\prime} & 0 & E_{n}\end{array}\right)$ 作广义初等行变换
$$
\begin{aligned}
& \left(\begin{array}{cc:cc}
1 & -\beta^{\prime} & 1 & 0 \\
0 & A+\alpha \beta^{\prime} & 0 & E_{n}
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cc:cc}
1 & -\beta^{\prime} & 1 & 0 \\
\alpha & A & \alpha & E_{n}
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc}
1+\beta^{\prime} A^{-1} \alpha & 0 & 1+\beta^{\prime} A^{-1} \alpha & \beta^{\prime} A^{-1} \\
\alpha & A & \alpha & E_{n}
\end{array}\right) \\
& \rightarrow\left(\begin{array}{cccc}
1+\beta^{\prime} A^{-1} \alpha & 0 & 1+\beta^{\prime} A^{-1} \alpha & \beta^{\prime} A^{-1} \\
0 & A & 0 & E_{n}-\frac{\alpha \beta^{\prime} A^{-1}}{1+\beta^{\prime} A^{-1} \alpha}
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cc:cc}
1 & 0 & 1 & \frac{\beta^{\prime} A^{-1}}{1+\beta^{\prime} A^{-1} \alpha} \\
0 & E_{n} & 0 & A^{-1}-\frac{A^{-1} \alpha \beta^{\prime} A^{-1}}{1+\beta^{\prime} A^{-1} \alpha}
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$
可见 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}1 & -\beta^{\prime} \\ 0 & A+\alpha \beta^{\prime}\end{array}\right)$ 可以经过广义初等行变换化为单位矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & E_{n}\end{array}\right)$ ，所以 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}1 & -\beta^{\prime} \\ 0 & A+\alpha \beta^{\prime}\end{array}\right)$ 可逆，从而 $\displaystyle A+\alpha \beta^{\prime}$ 可逆．且 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}1 & -\beta^{\prime} \\ 0 & A+\alpha \beta^{\prime}\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1 & \frac{\beta^{\prime} A^{-1}}{1+\beta^{\prime} A^{-1} \alpha} \\ 0 & A^{-1}-\frac{A^{-1} \alpha \beta^{\prime} A^{-1}}{1+\beta^{\prime} A^{-1} \alpha}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}M & R \\ N & Q\end{array}\right)$ ，由
$$
\left(\begin{array}{cc}
1 & -\beta^{\prime} \\
0 & A+\alpha \beta^{\prime}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
M & R \\
N & Q
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & E_{n}
\end{array}\right)
$$
得 $\displaystyle \left(A+\alpha \beta^{\prime}\right) Q=E_{n}$ ，所以 $\displaystyle \quad\left(A+\alpha \beta^{\prime}\right)^{-1}=Q=A^{-1}-\frac{A^{-1} \alpha \beta^{\prime} A^{-1}}{1+\beta^{\prime} A^{-1} \alpha}$ ．
如何升阶的问题应视原矩阵的形状以及所要解决的问题而定，一般来说比较复杂。上例中将矩阵 $\displaystyle A+\alpha \beta^{\prime}$ 升阶为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}1 & -\beta^{\prime} \\ 0 & A+\alpha \beta^{\prime}\end{array}\right)$ 的做法是比较容易想到的，因为我们希望把 $\displaystyle A+\alpha \beta^{\prime}$ 的第二项消掉，以充分利用 $\displaystyle A$ 的可逆性。
证明 构造 $\displaystyle n+1$ 阶矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}1 & -\beta^{\prime} \\ 0 & A+\alpha \beta^{\prime}\end{array}\right)$ ，对分块矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc:cc}1 & -\beta^{\prime} & 1 & 0 \\ 0 & A+\alpha \beta^{\prime} & 0 & E_{n}\end{array}\right)$ 作广义初等行变换
$$
\begin{aligned}
& \left(\begin{array}{cc:cc}
1 & -\beta^{\prime} & 1 & 0 \\
0 & A+\alpha \beta^{\prime} & 0 & E_{n}
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cc:cc}
1 & -\beta^{\prime} & 1 & 0 \\
\alpha & A & \alpha & E_{n}
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc}
1+\beta^{\prime} A^{-1} \alpha & 0 & 1+\beta^{\prime} A^{-1} \alpha & \beta^{\prime} A^{-1} \\
\alpha & A & \alpha & E_{n}
\end{array}\right) \\
& \rightarrow\left(\begin{array}{cccc}
1+\beta^{\prime} A^{-1} \alpha & 0 & 1+\beta^{\prime} A^{-1} \alpha & \beta^{\prime} A^{-1} \\
0 & A & 0 & E_{n}-\frac{\alpha \beta^{\prime} A^{-1}}{1+\beta^{\prime} A^{-1} \alpha}
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cc:cc}
1 & 0 & 1 & \frac{\beta^{\prime} A^{-1}}{1+\beta^{\prime} A^{-1} \alpha} \\
0 & E_{n} & 0 & A^{-1}-\frac{A^{-1} \alpha \beta^{\prime} A^{-1}}{1+\beta^{\prime} A^{-1} \alpha}
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$
可见 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}1 & -\beta^{\prime} \\ 0 & A+\alpha \beta^{\prime}\end{array}\right)$ 可以经过广义初等行变换化为单位矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & E_{n}\end{array}\right)$ ，所以 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}1 & -\beta^{\prime} \\ 0 & A+\alpha \beta^{\prime}\end{array}\right)$ 可逆，从而 $\displaystyle A+\alpha \beta^{\prime}$ 可逆．且 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}1 & -\beta^{\prime} \\ 0 & A+\alpha \beta^{\prime}\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1 & \frac{\beta^{\prime} A^{-1}}{1+\beta^{\prime} A^{-1} \alpha} \\ 0 & A^{-1}-\frac{A^{-1} \alpha \beta^{\prime} A^{-1}}{1+\beta^{\prime} A^{-1} \alpha}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}M & R \\ N & Q\end{array}\right)$ ，由
$$
\left(\begin{array}{cc}
1 & -\beta^{\prime} \\
0 & A+\alpha \beta^{\prime}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
M & R \\
N & Q
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & E_{n}
\end{array}\right)
$$
得 $\displaystyle \left(A+\alpha \beta^{\prime}\right) Q=E_{n}$ ，所以 $\displaystyle \quad\left(A+\alpha \beta^{\prime}\right)^{-1}=Q=A^{-1}-\frac{A^{-1} \alpha \beta^{\prime} A^{-1}}{1+\beta^{\prime} A^{-1} \alpha}$ ．
如何升阶的问题应视原矩阵的形状以及所要解决的问题而定，一般来说比较复杂。上例中将矩阵 $\displaystyle A+\alpha \beta^{\prime}$ 升阶为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}1 & -\beta^{\prime} \\ 0 & A+\alpha \beta^{\prime}\end{array}\right)$ 的做法是比较容易想到的，因为我们希望把 $\displaystyle A+\alpha \beta^{\prime}$ 的第二项消掉，以充分利用 $\displaystyle A$ 的可逆性。
题20213云南大学真题
6．对一个 $\displaystyle s \times n$ 矩阵 $\displaystyle A$ 作一初等行变换，就相当于在 $\displaystyle A$ 的—————边乘上相应的初等矩阵。
（A）左边；
（B）右边；
（C）两边；
（D）左边或右边．
（A）左边；
（B）右边；
（C）两边；
（D）左边或右边．
题20476南京大学真题
三、（15 分）设向量
$\displaystyle \alpha_{1}=(-1,2,0,4), \alpha_{2}=(5,0,3,1), \alpha_{3}=(3,-1,4,-2), \alpha_{4}=(-2,4,-5,9), \alpha_{5}=(1,3,-1,7)$
$\displaystyle \alpha_{1}=(-1,2,0,4), \alpha_{2}=(5,0,3,1), \alpha_{3}=(3,-1,4,-2), \alpha_{4}=(-2,4,-5,9), \alpha_{5}=(1,3,-1,7)$
题20655武汉大学真题
4．（12 分）设 $\displaystyle A 、 B$ 分别是 $\displaystyle r 、 s$ 阶可逆矩阵，求分块矩阵 $\displaystyle D=\left(\begin{array}{cc}A & C \\ 0 & B\end{array}\right)$ 的逆矩阵．
题20656武汉大学真题
5．（12分）设线性方程组
I ）$\displaystyle \left\{\begin{array}{c}2 x_{1}+x_{2}-x_{3}=1 \\ x_{1}-x_{2}+x_{3}=2 \\ 4 x_{1}+5 x_{2}-5 x_{3}=-1\end{array}\right.$ 与 II ）$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a x_{1}+b x_{2}-x_{3}=0 \\ 2 x_{1}-x_{2}+a x_{3}=3\end{array}\right.$
同解，求其通解和 $\displaystyle a, b$ ．
I ）$\displaystyle \left\{\begin{array}{c}2 x_{1}+x_{2}-x_{3}=1 \\ x_{1}-x_{2}+x_{3}=2 \\ 4 x_{1}+5 x_{2}-5 x_{3}=-1\end{array}\right.$ 与 II ）$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a x_{1}+b x_{2}-x_{3}=0 \\ 2 x_{1}-x_{2}+a x_{3}=3\end{array}\right.$
同解，求其通解和 $\displaystyle a, b$ ．
题20661武汉大学真题
2．（20 分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & k & 1 \\ 1 & k & 0 & 1\end{array}\right)$ ，
求：（1）$\displaystyle A$ 的秩；
（2）$\displaystyle A$ 的零化子空间 $\displaystyle N(A)$（即满足 $\displaystyle A X=0$ 的所有4维向量组成的子空间）的维数和一
组基。
求：（1）$\displaystyle A$ 的秩；
（2）$\displaystyle A$ 的零化子空间 $\displaystyle N(A)$（即满足 $\displaystyle A X=0$ 的所有4维向量组成的子空间）的维数和一
组基。