四、（10 分）设 $\displaystyle A, B$ 都是数域 $\displaystyle P$ 上 $\displaystyle n$ 级方阵。如果 $\displaystyle A$ 在域 $\displaystyle P$ 上有 $\displaystyle n$ 个不同的特征值，且 $\displaystyle A B=B A$ ，证明：$\displaystyle B$ 相似于一个对角矩阵．

8．（15 分）设 $\displaystyle \alpha=\left(a_{1}, \cdots, a_{n}\right)$ 是 $\displaystyle n(n \geq 2)$ 维非零向量。证明：$\displaystyle \alpha^{T} \alpha$ 可相似于一对角矩阵，并求此对角矩阵。

9．设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n$ 阶方阵，证明：如果 $\displaystyle r(A)+r(A-E)=n$ ，则 $\displaystyle A$ 可对角化．（20 分）

七、（15分）设 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 为 $\displaystyle n$ 阶方阵， $\displaystyle \operatorname{det}(\boldsymbol{A})=18$ ，且 $\displaystyle 3 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{*}=15 \boldsymbol{E}_{n}$ ，其中 $\displaystyle \boldsymbol{A}^{*}$ 为 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵， $\displaystyle \boldsymbol{E}_{n}$ 为 $\displaystyle n$ 阶单位矩阵。
（1）求 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 的一个零化多项式 $\displaystyle f(\boldsymbol{\lambda})$ ；
（2）求 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 的极小多项式 $\displaystyle m(\lambda)$ ；
（3）求 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 的 Jordan 标准形．