三．（12 分）

设 A 是数域 $\displaystyle F$ 上的 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换。记 $\displaystyle V_{1}=\bigcup_{i=0}^{\infty} K e r \mathrm{~A}^{i}, V_{2}=\bigcap_{i=0}^{\infty} \operatorname{Im} \mathrm{A}^{i}$ ，证明：
（1）$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是 A 的不变子空间；
（2）$\displaystyle V=V_{1}+V_{2}$

4．如果 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, V_{3}$ 都是线性空间 $\displaystyle V$ 的子空间，并且 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}=V_{1} \cap V_{3}=V_{2} \cap V_{3}=0$ ，则 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, V_{3}$ 的和 $\displaystyle V_{1}+V_{2}+V_{3}$ 是直和．

9．设 $\displaystyle \mathrm{V}_{1}, V_{2}$ 是数域 P 上有限维线性空间 V 的子空间，并且维 $\displaystyle \left(V_{1}\right)+$ 维 $\displaystyle \left(V_{2}\right)=$ 维 $\displaystyle (V)$ ，则 $\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$

解答：正确，证明过程参见高教版高等代数（第二版）P268的定理9

四、（10 分）设 $\displaystyle n$ 阶方阵 $\displaystyle A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=A, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $\displaystyle P^{n}$ 中 $\displaystyle n$ 个线性无关的列向量，设 $\displaystyle V_{2}$ 是由 $\displaystyle A \alpha_{1}, A \alpha_{2}, \cdots, A \alpha_{n}$ 生成的子空间，$\displaystyle V_{1}$ 是 $\displaystyle A X=0$ 的解空间，证明： $\displaystyle P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．