1．欧氏空间的度量矩阵一定是－－－－－－．（A）正交矩阵；
（B）正定矩阵；C）上三角矩阵；（D）下三角矩阵。

二．（20 分）在欧氏空间 $\displaystyle R^{4}$ 中，已知向量组 $\displaystyle I: \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性无关，向量组

$$
\text { II }: \beta_{1}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
-1 \\
1
\end{array}\right), \beta_{2}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0 \\
1
\end{array}\right), \beta_{3}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \beta_{4}=\left(\begin{array}{c}
2 \\
-2 \\
-3 \\
3
\end{array}\right) .
$$

（1）求向量组 II 的秩；
（2）试问 $\displaystyle I$ 组能否由 $\displaystyle I I$ 组线性表示？II 组能否由 $\displaystyle I$ 组线性表示？请阐述理由；
（1）求由向量组 II 所生成的线性子空间的一个标准正交基。

8．（10 分）$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间 $\displaystyle V$ 的子空间，且 $\displaystyle V_{1}$ 的维数小于 $\displaystyle V_{2}$ 的维数，证明：$\displaystyle V_{2}$ 中必有一个非零向量正交于 $\displaystyle V_{1}$ 中的一切向量。

9．（16 分）设 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间，$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是 $\displaystyle V$ 的子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1}<\operatorname{dim} V_{2}$ 。证

明：$\displaystyle V_{2}$ 中存在一个非零向量，它与 $\displaystyle V_{1}$ 中任一个向量正交。
$\displaystyle \operatorname{det} A \geq \operatorname{det} A^{2} \geq \operatorname{det} A^{3} \geq \operatorname{det} A^{4} \geq \cdots$
而秩 A 是有限数，上面的不等式不可能无限不等下去，
必然存在一个正整数 m ，使 $\displaystyle \operatorname{det} A^{m}=\operatorname{det} A^{m+1}$

10．（10 分）设 $\displaystyle T$ 是 $\displaystyle n$ 维欧式空间的一个映射，若它不改变向量间的距离且将零向量变为零向量，则它是一个正交变换．