2．设 $\displaystyle P_{3}$ 是数域 $\displaystyle F$ 上次数不高于 3 的全体多项式和零多项式的全体，线性变换

$$
\varphi=x \frac{d}{d x}: P_{3} \rightarrow P_{3}
$$


求 $\displaystyle \varphi$ 的极小多项式。

6．（20 分）给定 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上二维线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换 $\displaystyle A$ 。 $\displaystyle A$ 在一组基下的矩阵表示为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1-a & 0\end{array}\right), a \neq 0$ ，求 $\displaystyle A$ 的不变子空间．

8．（20 分）设 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle n$ 维向量空间，$\displaystyle f, g$ 是 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle (f, g \in L(V)$ ），且 $\displaystyle f$ 有 $\displaystyle n$ 个互异的特征根．证明：$\displaystyle f g=g f$ 的充要条件是 $\displaystyle g$ 是 $\displaystyle f^{0}=I$（恒等变换），$\displaystyle f, f^{2}, \cdots, f^{n-1}$的线性组合。

6、设 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的最小多项式与特征多项式相同。求证：$\displaystyle \exists \alpha \in V$ ，使得 $\displaystyle \alpha, A \alpha, A^{2} \alpha, \cdots, A^{n-1} \alpha$ 为 $\displaystyle V$ 的一个基．

【解】据题设，设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的最小多项式与特征多项式同为

$$
d_{n}(\lambda)=\lambda^{n}+b_{n-1} \lambda^{n-1}+\cdots+b_{1} \lambda+b_{0},
$$


则 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的前 $\displaystyle n-1$ 个不变因子为 $\displaystyle 1,1, \cdots, 1$ ，第 $\displaystyle n$ 个不变因子为 $\displaystyle d_{n}(\lambda)$ 。容易知道，矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & & & & -b_{0} \\
1 & \ddots & & & -b_{1} \\
& \ddots & \ddots & & \vdots \\
& & \ddots & 0 & -b_{n-2} \\
& & & 1 & -b_{n-1}
\end{array}\right)
$$


的不变因子也为 $\displaystyle 1,1, \cdots, 1, d_{n}(\lambda)$ ，所以存在 $\displaystyle V$ 的一个基 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}$ ，使得 $\displaystyle \mathbf{A}$ 在这个基下的矩阵为 $\displaystyle A$ ，即

$$
\mathbf{A}\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right)=\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right) A
$$


现在令 $\displaystyle \alpha=\xi_{1} \in V$ ，则 $\displaystyle A \alpha=\xi_{2}, A^{2} \alpha=\xi_{3}, \cdots, A^{n-1} \alpha=\xi_{n}$ ，因此 $\displaystyle \alpha, A \alpha, A^{2} \alpha, \cdots, A^{n-1} \alpha$

为 $\displaystyle V$ 的一个基．

8．（20分）已知3维线性空间 $\displaystyle V$ 有两组基：（I）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right\}$ ，（II）$\displaystyle \left\{-\varepsilon_{3},-2 \varepsilon_{2},-3 \varepsilon_{1}\right\}$
（1）写出（I）到（II）的过渡矩阵；
（2）若向量 $\displaystyle \alpha$ 在基（I）下坐标为 $\displaystyle (1,2,3)^{T}$ ，写出 $\displaystyle \alpha$ 在基（II）下的坐标；
（3）定义线性变换 $\displaystyle A$ 为：$\displaystyle A\left(\varepsilon_{1}\right)=\varepsilon_{1}, A\left(\varepsilon_{2}\right)=2 \varepsilon_{2}, A\left(\varepsilon_{3}\right)=3 \varepsilon_{3}-\varepsilon_{1}$ 分别写出 $\displaystyle A$ 关于基（I），
（II）的矩阵；
（4）求 $\displaystyle A(\alpha)$ ．