4．（20 分）证明函数 $\displaystyle \log \operatorname{det}(\cdot)$ 在对称正定矩阵集上是凹函数，即：对于任意两个 $\displaystyle n \times n$对称正定矩阵 $\displaystyle A, B$ ，及 $\displaystyle \forall \lambda \in[0,1]$ ，有

$$
\log \operatorname{det}(\lambda A+(1-\lambda) B) \geq \lambda \log \operatorname{det}(A)+(1-\lambda) \log \operatorname{det}(B),
$$


其中，函数 $\displaystyle \log \operatorname{det}(A)$ 表示先对矩阵 $\displaystyle A$ 取行列式再取自然对数。

七、 $\displaystyle (12+8=20$ 分）设循环矩阵 $\displaystyle C$ 为

$$
\left(\begin{array}{cccc}
c_{0} & c_{1} & \cdots & c_{n-1} \\
c_{n-1} & c_{0} & \cdots & c_{n-2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
c_{1} & c_{2} & \cdots & c_{0}
\end{array}\right)
$$

（1）求 $\displaystyle C$ 的所有特征值以及相应的特征向量；
（2）求 $\displaystyle |C|$ 。
解：（1）构造多项式：$\displaystyle f(\lambda)=c_{0}+c_{1} \lambda+\cdots+c_{n-1} \lambda^{n-1}$ 。设 $\displaystyle P$ 是 $\displaystyle n$ 阶初等置换矩阵：

$$
\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
1 & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{array}\right)
$$


则 $\displaystyle C=f(P)$ ．
$\displaystyle \because|\lambda I-P|=\lambda^{n}-1=\prod_{k=0}^{n-1}\left(\lambda-\omega^{k}\right)$ ，其中 $\displaystyle \omega=e^{i \frac{2 \pi}{n}}$ 是 $\displaystyle \lambda^{n}-1=0$ 的本原单位根．
$\displaystyle \therefore \omega^{0}, \omega^{1}, \cdots, \omega^{n-1}$ 是 $\displaystyle P$ 的所有特征值
$\displaystyle \therefore f\left(\omega^{0}\right), f\left(\omega^{1}\right), \cdots, f\left(\omega^{n-1}\right)$ 是循环矩阵 $\displaystyle C$ 的所有特征值．
$\displaystyle \forall k \in\{0,1,2, \cdots, n-1\}$ ，令 $\displaystyle x_{k}=\left(1, \omega^{k}, \omega^{2 k}, \cdots, \omega^{(n-1) k}\right)^{T}$ ，则

$$
P x_{k}=\left(\omega^{k}, \omega^{2 k}, \cdots, \omega^{(n-1) k}, 1\right)^{T}=\omega^{k} x_{k}
$$


所以

$$
C x_{k}=f(P) x_{k}=f\left(\omega^{k}\right) x_{k}
$$


综上可得
循环矩阵 $\displaystyle C$ 的所有特征值为 $\displaystyle f\left(\omega^{0}\right), f\left(\omega^{1}\right), \cdots, f\left(\omega^{n-1}\right)$ ，它们对应的特征向量分别为
$\displaystyle x_{0}=(1,1, \cdots, 1)^{T}, \quad x_{k}=\left(1, \omega^{k}, \omega^{2 k}, \cdots, \omega^{(n-1) k}\right)^{T}, \quad \cdots, \quad x_{n-1}=\left(1, \omega^{n-1}, \omega^{2(n-1)}, \cdots, \omega^{(n-1)^{2}}\right)^{T}$.
（2）由（1）可得

$$
|C|=\prod_{k=0}^{n-1} f\left(\omega^{k}\right)
$$

6．（15 分）设 $\displaystyle A 、 B$ 是 $\displaystyle n$ 阶非零矩阵，且有 $\displaystyle A^{2}=A, B^{2}=B, A B=B A=0$ ，证明：
（1） 0,1 必是 $\displaystyle A 、 B$ 的特征值；
（2）若 $\displaystyle X$ 是 $\displaystyle A$ 的属于特征值 1 的特征向量，则 $\displaystyle X$ 也是 $\displaystyle B$ 的属于特征值 0 的特征向量．

9．（20 分）对复域上方阵 $\displaystyle A$ ，证明：
（1）存在正整数 $\displaystyle m$ 使 $\displaystyle A^{m}=0$ 当且仅当 $\displaystyle A$ 的特征值均为零；
（2）若存在正整数 $\displaystyle m$ 使 $\displaystyle A^{m}=0$ ，证明：$\displaystyle |A+E|=1$ 。（其中 $\displaystyle E$ 表示与 $\displaystyle A$ 同阶的单位矩阵）