2．（16分）线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\
\cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \\
a_{n-1,1} x_{1}+a_{n-1,2} x_{2}+\cdots+a_{n-1, n} x_{n}=0
\end{array}\right.
$$


的系数矩阵为

$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1, n}
\end{array}\right) .
$$


设 $\displaystyle M_{j}(j=1,2, \cdots, n)$ 是在矩阵 $\displaystyle A$ 中化去第 $\displaystyle j$ 列所得到的 $\displaystyle n-1$ 阶子式。求证：
（1）$\displaystyle \left(M_{1},-M_{2}, \cdots,(-1)^{n-1} M_{n}\right)$ 是方程组的一个解；
（2）如果 $\displaystyle A$ 的秩为 $\displaystyle n-1$ ，那么方程组的解全是 $\displaystyle \left(M_{1},-M_{2}, \cdots,(-1)^{n-1} M_{n}\right)$ 的倍数。

8．设 $\displaystyle A$ 是数域 $\displaystyle P$ 上的 $\displaystyle s \times n$ 矩阵且秩 $\displaystyle (A)=r, \quad X=\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)$ 。若方程组 $\displaystyle A X=0$ 有非零解，则它的基础解系所含解的个数为——－－－－个。
（A）$\displaystyle n$ ；
（B）$\displaystyle r$ ；
（C）$\displaystyle n-r$ ；
（D） 0 ．

四、（12 分）设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 级阵，$\displaystyle A$ 的秩为 $\displaystyle m, B$ 是 $\displaystyle n \times(n-m)$ 级矩阵，$\displaystyle B$ 的秩为 $\displaystyle n-m$ ，且 $\displaystyle A B=\eta$ 。这里 $\displaystyle n$ 维列向量 $\displaystyle \eta$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解，求证：存在唯一的 $\displaystyle n-m$维列向量 $\displaystyle \boldsymbol{\xi}$ ，使得 $\displaystyle \boldsymbol{B} \boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{\eta}$ 。

1．（20 分）令 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 是 $\displaystyle R^{n}$ 中 $\displaystyle s$ 个线性无关的向量。证明：存在含 $\displaystyle n$ 个未知量的齐次线性方程组，使得 $\displaystyle \left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}\right\}$ 是它的一个基础解系。