习题5-2

1．填空题。 （1）过原点且与向量 $\boldsymbol{a}=(3,1,-1)$ 垂直的平面方程为 $\_\_\_\_$ ． （2）平面 $x+2 y+k z+1=0$ 与向量 $\boldsymbol{a}=(1,2,1)$ 垂直，则 $k=$ $\_\_\_\_$。 （3）过点 $M(2,0,-1)$ ，且与向量 $\boldsymbol{a}=(2,1,-1) 、 \boldsymbol{b}=(3,0,4)$ 平行的平面方程 为 $\_\_\_\_$。

10．求平行于平面 $6 x+y+6 z+5=0$ 且与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程．

11．若平面 $x+k y-2 z=0$ 与平面 $2 x-3 y+z=0$ 的夹角为 $\frac{\pi}{4}$ ，求 $k$ 的值．

12．求经过两点 $M_{1}(3,-2,9)$ 和 $M_{2}(-6,0,-4)$ 且与平面 $2 x-y+4 z-8=0$ 垂直的平面的方程。

13．求平面 $5 x-14 y+2 z-8=0$ 和 $x O y$ 面的夹角．

14．求通过 $z$ 轴且与平面 $2 x+y-\sqrt{5} z-7=0$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$ 的平面的方程．

15．推导两平行平面 $A x+B y+C z+D_{i}=0, i=1,2$ 之间的距离公式；并求将两平行平面 $x-2 y+z-2=0$ 与 $x-2 y+z-6=0$ 之间距离分成 $1: 3$ 的平面方程。

16．证明：过不在一直线上三点 $\left(x_{i}, y_{i}, z_{i}\right), i=1,2,3$ 的平面方程为 $$ \left|\begin{array}{ccc} x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1} \\ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1} \end{array}\right|=0, $$ 并写出过 $(1,1,-1),(-2,-2,2),(1,-1,2)$ 三点的平面方程．

2．指出下列平面位置的特点，并画出各平面． （1） $2 x+z+1=0$ ； （2）$y-z=0$ ； （3）$x+2 y-z=0$ ； （4） $9 y-1=0$ ； （5）$x=0$ ； （6） $2 x+z=0$ ．

3．求满足下列条件的平面方程。 （1）过点 $M(1,1,1)$ 且与平面 $3 x-y+2 z-1=0$ 平行； （2）过点 $M(1,2,1)$ 且同时与平面 $x+y-2 z+1=0$ 和 $2 x-y+z=0$ 垂直； （3）与 $x 、 y 、 z$ 轴的交点分别为 $(2,0,0),(0,-3,0)$ 和 $(0,0,-1)$ ； （4）平行于 $x$ 轴且经过点 $(1,2,-1)$ ； （5）垂直于两平面 $x-y+z-1=0,2 x+y+z+1=0$ 且通过点 $(1,-1,1)$ ； （6）平行于向量 $\boldsymbol{a}=(2,1,-1)$ 且在 $x$ 轴、 $y$ 轴上的截距依次为 3 和 -2 。

4．求经过两点 $(4,0,-2)$ 和 $(5,1,7)$ 且与 $x$ 轴平行的平面方程．

5．求过点 $A(1,1,-1)$ 和原点且与平面 $4 x+3 y+z=1$ 垂直的平面方程．

6．求过 $z$ 轴和点 $M(-3,1,2)$ 的平面方程．

7．求过三点 $A(2,3,0) 、 B(-2,-3,4)$ 和 $C(0,6,0)$ 的平面方程．

8．一平面过点 $A(1,-4,5)$ 且在各坐标轴上的截距相等，求它的方程．

9．设平面过原点及点 $(6,-3,2)$ 且与平面 $4 x-y+2 z=8$ 垂直，求此平面方程．