习题9-8

1．已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某个邻域内连续，且 $$ \displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=1, $$ 则下述四个选项中正确的是 ． （A）点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的极值点 （B）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点 （C）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点 （D）根据所给条件无法判断 $(0,0)$ 是不是 $f(x, y)$ 的极值点

10．求内接于半径为 $a$ 的球且有最大体积的长方体．

11．抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 被平面 $x+y+z=1$ 截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值。

12．设有一圆板占有平面闭区域 $\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．该圆板被加热，以致在点 $(x, y)$ 的温度是 $T=x^{2}+2 y^{2}-x$ ．求该圆板的最热点和最冷点．

13．形状为椭球 $4 x^{2}+y^{2}+4 z^{2} \leqslant 16$ 的空间探测器进人地球大气层，其表面开始受热， 1 h 后在探测器的点 $(x, y, z)$ 处的温度 $T=8 x^{2}+4 y z-16 z+600$ ，求探测器表面最热的点．

2．求函数 $f(x, y)=4(x-y)-x^{2}-y^{2}$ 的极值．

3．求函数 $f(x, y)=\left(6 x-x^{2}\right)\left(4 y-y^{2}\right)$ 的极值．

4．求两直线 $\left\{\begin{array}{l}y=2 x, \\ z=x+1\end{array}\right.$ 与 $\left\{\begin{array}{l}y=x+3, \\ z=x\end{array}\right.$ 之间的最短距离．

5．求函数 $z=x y$ 在适合附加条件 $x+y=1$ 下的极大值．

6．从斜边长为 $l$ 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．

7．要造一个体积等于定数 $k$ 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小．

8．在平面 $x O y$ 上求一点，使它到 $x=0, y=0$ 及 $x+2 y-16=0$ 三直线的距离平方之和为最小．

9．将周长为 $2 p$ 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体．问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大？